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切比雪夫函數

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切比雪夫第二函數x < 50時的圖像

數學上,切比雪夫函數(Chebyshev Function)可指一個標量化函數(切比雪夫加權標量化函數),或兩個彼此相關的函數的其中之一。

切比雪夫第一函數(First Chebyshev Function)在文獻中一般記做,其形式如下:

其中自然對數,而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x的質數p的自然對數的總和。

切比雪夫第二函數(Second Chebyshev Function)在文獻中一般記做,其定義類似,為所有小於等於x的質數p的冪的自然對數的總和,而其形式如下:

其中馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數,尤其切比雪夫第二函數,經常出現於與質數相關的數學證明中,而這是因為這些函數比質數計數函數還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與x呈現非病態關係,而這點等價於質數定理

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外,還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數(Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function)或切比雪夫效用函數(Chebyshev utility function),其形式如下:

[1]

藉由最小化這方程式不同的數值,可得到帕累托前沿英语Pareto front的每個點,甚至是非凸性的部分。[1]很多時候,要最小化的不是,而是在給定標量的狀況下的數值,而在這種狀況下有[2]

這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫為名,唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數,切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關,也不會出現在接下來的討論中。

切比雪夫第一及第二函數的關係

切比雪夫第一及第二函數彼此相關,要驗證這點,可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式:

其中k是使得的唯一整數,而k的值可參見A206722。一個更直接的關係如下:

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值,而這是因為有下式之故:

切比雪夫第二函數是從1到n所有數的最小公倍數的自然對數:

對於n而言,lcm(1, 2, ..., n)的值可參見A003418

以下定理這兩個分數給聯繫起來。[3]

定理:則有

注意:從此不等式可推出

換句話說,若其中一個趨近某個極限,則另一個也是如此,也就是兩者的極限相等。

證明:由於,因此有

而由的定義,可得以下明顯的不等式:

因此有

最後,將此不等式兩邊除以,即可得定理的不等式。

非病態關係及上下界

對於切比雪夫函數,有以下已知的界線。其中pk是第k個質數,也就是p1 = 2p2 = 3等等:[1][2]

此外,若黎曼猜想成立,則對於任意的而言,有以下關係式:

對任意的而言,切比雪夫第一函數及第二函數有以下的上界:[4] [3]

對於1.03883這常數的解釋,可見A206431的說明。

等式

1895年,漢斯·馮·曼戈爾特證明了[4]有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的解析解英语Explicit_formulae_(L-function)

其中ζ(0)/ζ (0)的數值為log(2π)ρ遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點,而ψ0是一個與ψ類似的函數,但差別是其在跳躍不連續點(質數的冪)的取值為其左邊與右邊值的中間:

自然對數泰勒展開式而言,解析解的最後一項可理解為xω/ω對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是說,

類似地,此公式第一項x = x1/1對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實,說明了項的變號。

性質

一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱,對於某個特定的正常數K,存在有無限多個正整數x使得

同時有無限多個正整數x使得

[5][6]

使用o符號,可將上式重述為

哈代李特爾伍德[7]證明了一個更強的結果,表述如下:

也就是說有無限多的正整數x,使得x之間的差的絕對值超過

與質數階乘的關係

切比雪夫第一函數也是x質數階乘x #的對數:

這說明了質數階乘x #非病態地等於e(1  + o(1))x,其中o是小o符號(見大O符號一文的說明),而這點與質數定理共同確立了pn #的非病態行為。

與質數計數函數間的關係

切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

那麼有

Π質數計數函數π間的轉換可由下式表示:

由於很明顯地,有π (x) ≤ x之故,因此為了估計的目的,最後的關係式可重述如下:

黎曼猜想

黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1/2。在這種狀況下,有|xρ| = x,且可證明說

由上式可推得

平滑化函數

平滑化切比雪夫函數定義如下:

顯然有

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 Joshua Knowles. Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures (PDF). The University of Manchester: 34. 2 May 2014 [2023-12-07]. (原始内容存档 (PDF)于2022-12-09). 
  2. ^ Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization (PDF). Expert Systems with Applications (Delft University of Technology). 2018. Page 6 equation (2) [2023-12-07]. doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051. (原始内容存档 (PDF)于2024-04-16). 
  3. ^ Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer. 2010: 75–76. 
  4. ^ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers.. Illinois J. Math. 1962, 6: 64–94 [2023-12-07]. (原始内容存档于2016-08-18). 
  • ^ Pierre Dusart英语Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
  • ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, pk", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(log k + log log k − 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
  • ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
  • ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
  • ^ Davenport, Harold英语Harold Davenport (2000). 可見於《Multiplicative Number Theory页面存档备份,存于互联网档案馆》一書。 Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

額外補充

外部連結