卢津定理
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卢津(Лузин)定理是实分析的定理。約略來說,這定理指可測函數差不多是連續函數。
定理敘述
一維形式
設是可測函數,對任何,都存在緊緻集,使得,而且f限制到E上是連續函數。此處是勒貝格測度。
證明
因為f可測,所以在一個測度任意小的開集以外,f是有界函數。在開集上重定義f為0,那麼f在[a,b]上有界,因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間中稠密,存在連續函數序列依L1範數收斂至f,即。故此有子序列幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知,除了一個測度任意小的開集外,一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的,故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集,那麼原本的f在E上連續。
多維形式
設是上的正則博雷爾測度,是可測函數。X是中的可測集,而且,那麼對任意,X中存在緊緻集K,使得,而且f限制到K上是連續函數。
證明
首先,對每個正整數i,構造緊緻集和在其上的連續函數,使得
且在上有
構造方法如下:
將分成兩兩不交的博雷爾集,使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測,所以每個集的原像是可測集。令,則將X分成兩兩不交的可測集。
由於是博雷爾正則測度,且,於是限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性,在中存在緊緻子集,使得
所以全部子集的不交並集的測度
因為,可以取足夠大的N使得
令。有限個緊緻集的並集是緊緻集,所以緊緻。因此滿足要求。
對j=1,..., N,在中任取一點,並在上定義。
因為在上,f的值包含在中,故此f和相差小於1/i。而是兩兩不交的緊緻集,故兩兩間的距離都是正數,所以在上是連續函數。因此滿足要求。
取,K是緊緻集,並有
函數列在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性,所以f在K上連續。
參考
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.