在数学中,特别是在迭代函数和动态系统领域,周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。
迭代函数
设
是集合
上的自同态函数
![{\displaystyle f:X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672b7e48a9c7c9f7b0be9a75555e0dbd87c64aaa)
若存在
,使得
![{\displaystyle \ f^{n}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b17c352517dd0074354ff549fb01f98df5b039)
则
是周期为
的周期点。这里,
是
的
次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。
设
是函数
的以
为周期的周期点,若
![{\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99af0cc7f3889884ed93545725fd84a69bc0b427)
则
是双曲周期点。若
![{\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad554e6ee01a9e1cdce696b54604b35baf9f99cc)
则称周期点p为吸引子;若
![{\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7942800efcd905a6ad70423402f11dc107a0e2ab)
则称周期点p为排斥子。
若该周期点的稳定流形的维数为0,则称其为源点;若不稳定流形的维数为0,则称其为汇点;若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0,则称其为鞍点。
动态系统
给定一个连续时间动态系统
,其中
是相空间,
是状态转移函数,
![{\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fc45453d156529775a5802a1ae87d6a60bd2d3)
若存在
,
,使得
![{\displaystyle \Phi (t,x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb30886eef766d872b3be119c724b342c70dccfd)
则
被称为以
为周期的周期点,使上式成立的最小正数
被称为最小周期。
性质
设
是以
为周期的周期点,则对于任意实数
,
都成立。
设轨迹
经过周期点
,则该轨迹上的所有点均为周期点,且最小周期与
的最小周期相等。
参见