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圓周摺積

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兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來,所產生的新函數。 的週期延伸可以寫成

兩個函數 圓周摺積 可用兩種互相等價的方式來定義

其中 表示原本的(線性)摺積


類似地,對於離散信號(數列),可以定義週期 N 的圓周摺積

如果引入循环矩阵,那么两个长度都为 N 的离散信号(长度不一致,则可以通过补零来对齐两信号)的循环卷积则可以写成矩阵的形式。设有长度为 N 的离散信号 ,则由该向量构建的循环矩阵有如下形式

此时,信号与信号的圆周卷积可以写为


離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉變換(FFT)而有效率的計算。因此,若原本的(線性)摺積能轉換成圓周摺積來計算,會遠比直接計算更快速。考慮到長度 和長度 的有限長度離散信號,做摺積之後會成為長度 的信號,因此只要把兩離散信號補上適當數目的零(zero-padding)成為 N 點信號,其中    ,則它們的圓周摺積就與摺積相等。即可接著用 N 點 FFT 作計算。

用以上方法計算摺積時,若兩個信號長度相差很多,則較短者須補上相當多的零,太不經濟。而且在某些情況下,例如較短的 是一個 FIR 濾波器而較長的 是未知長度的輸入(像語音)時,直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號,太不方便。這時可以把 分割成許多適當長度的區塊(稱為 block convolution),然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連接起來,藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之摺積法重疊-相加之摺積法

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參考文獻

外部連結

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