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奎伦伴随

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同伦论中,两个封闭模型范畴C、D之间的奎伦伴随指一种特殊的范畴间的伴随,通过全导函子结构,在同伦范畴Ho(C)与Ho(D)之间建立伴随关系。奎伦伴随为纪念数学家丹尼尔·奎伦而名。

正式定义

给定两个封闭模型范畴C、D奎伦伴随是一对

(F, G): C D

伴随函子F左伴随G,使得F保留了上纤维化与平凡上纤维化;或根据封闭模型公理,G保留了纤维化与平凡纤维化。在这样的伴随关系中,F左奎伦函子G右奎伦函子

性质

由公理可知,奎伦函子保留了(上)纤维化对象间的弱等价。奎伦的全导函子公理称,左全导函子

LF:Ho(C) → Ho(D)

是右全导函子

RG: Ho(D) → Ho(C)

的左伴随。这样的伴随(LF, RG)称为导伴随

若(F, G)是上述的奎伦伴随,使

F(c) → d

c上纤维化、与d纤维化在D中是弱等价,当且仅当

cG(d)

C的弱等价,则称之为封闭模型范畴C、D奎伦等价。这时,导伴随是范畴的伴随等价,因此

LF(c) → d

是Ho(D)的同构,当且仅当

cRG(d)

是Ho(C)的同构。

参考文献