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布朗篩法

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數論中,布朗篩法(Brun sieve;或稱布朗純篩法 (Brun's pure sieve))是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧,而這些條件一般都以同餘表示。該篩法由维戈·布朗於1915年發展,並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理

描述

篩法的術語中,布朗篩法是一種「組合篩法」,也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前,先定義一些表記:

為正整數的有限集,而則為質數的集合,然後設中可為中的質數整除的數組成的集合;此外,可設中的不同質數的乘積,在這種狀況下,可相應地定義中可被整除的數的集合,也就是與的質因數相應的集合的交集;而也可相應地定義成本身。

為任意實數,那麼該篩法的目標就是估計下式:

在上式中,是集合元素個數

此外,假若的元素個數可由下式估計的話(下式中,是一個積性函數,而是與之相應的誤差項):

那就可定義下式:

布朗純篩法

以下內容取自Cojocaru & Murty页面存档备份,存于互联网档案馆)的定理6.1.2.,並使用上述的表記。

若以下條件成立:

  • 對於任意由中的質數構成的無平方因子數而言,有
  • 存在常數使得對於任意實數而言,有
  • 對於任意中的質數,有

則有以下的關係式:

其中的元素個數、是任意正整數,而則是大O符號

此外,設的最大元,那在存在足夠小的使得的狀況下,有下列關係式:

應用

  • 布朗定理:所有孿生質數的倒數和收斂。
  • 施尼勒爾曼密度:所有的偶數至多個質數之和。的大小可小至6。
  • 存在有無限多個彼此差為2的整數對,而在該整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。
  • 所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。

最後兩個定理弱於陳氏定理弱哥德巴赫猜想

參考資料

  • Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8). 
  • Viggo Brun. La série où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1919, 43: 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01. 
  • Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6. 
  • George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1. 
  • Heini Halberstam; H.E. Richert. Sieve Methods. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. 
  • Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3. .