有限域算术

有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體(如有理數)中的運算。

不同的有限體有無限多種，它們的勢(英語：Cardinality)皆以 $p^{n}$ 的形式表示，其中 $\ p$ 是一個質數； $n$ 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。 $p$ 同時代表此有限體的特徵數，而 $\ n$ 則是此有限體的維度。

有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼(例如BCH碼和里德-所羅門碼)以及在密碼學中的演算法(例如進階加密標準)等不同领域的应用。

有效多項式表示

伽羅瓦體

有 $\ p^{n}$ 個元素的有限體可以表示成 $\ \mathrm {GF} (p^{n})$ ，其中 GF 為伽羅瓦體(英語：Galois field)的縮寫。伽羅瓦體即為有限體的別稱，以紀念現代群論的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽羅瓦^[1]。

一個簡單的例子是 $\ \mathrm {GF} (p)$ (也能可表示成 $\ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ 或 $\mathbb {F} _{p}$ )，其中 $\ p\$ 是一個質數。 $\ \mathrm {GF} (p)$ 是將正整數作以 $\ p\$ 為模的模運算後所得的結構。換言之，我們可以對整數進行加法、減法、乘法的運算，接著再以模運算將結果簡化。因此 $\ \mathrm {GF} (p)$ 其實也是一種環。

以 $\ \mathrm {GF} (5)$ 為例

在 $\ \mathrm {GF} (5)$ 中， $4+3=2$ 而不會等於 $\ 7$ ，這是因為 $\ 7_{(}mod\ 5)=2$ 。而除法能理解為對其乘法反元素作乘法，並可以使用擴充版的輾轉相除法來計算。

以 $\ \mathrm {GF} (2)$ 為例

$\ \mathrm {GF} (2)$ 的加法为XOR，而乘法是AND。由于唯一具有倒数的元素是数字1，除法则是恆等函數。

GF(pⁿ)的元素可表示为，在GF(p)之上严格小于n次数的多项式。运算则实行在先模除R，而R是一则在GF(p)之上，拥有n次数的不可约多项式，例如运用多项式长除法。两则多项式P和Q则按常规运算；乘法则按如下进行：先按常规计算W = P⋅Q，然后计算模除R之后的余项(存在有更方便方法)。

当素数是2时，一般按常规可以把GF(pⁿ)的元素表示为二进制数，按对应元素的二进制表示，多项式的每一项表示为一比特的，相对应元素的二进制数位，并且括号( "{"和"}" )或类似的分隔符也普遍附加于这些二进制数，或对应它们的十六进制的同等数，以表明数值确确是域内的一则元素。例如，下列数都在具有2的特征下持有相同的数值。

多项式: x⁶ + x⁴ + x + 1
二进制: {01010011}
十六进制: {53}

加法和减法

加法和减法可实施在加与减这两则多项式，再而使用模除其特征值以简化。

在一则特征值为2的有限域之中，加法模2，减法模2，如同使用XOR，因此：

多项式：(x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1
二进制： {01010011} + {11001010} = {10011001}
十六进制：{53} + {CA} = {99}

在常规的无限域的多项式的加法下，计算之和需要包含单项 2x⁶，但在有限域的加法下，0x⁶则被去掉，因为其计算结果被模2所消除。

下列是一则包含有对于一些多项式的，常规代数计算和与特征值为2的有限域的计算和，一同列出的图表。

p₁	p₂	p₁ + p₂ (normal algebra)	p₁ + p₂ in GF(2ⁿ)
x³ + x + 1	x³ + x²	2x³ + x² + x + 1	x² + x + 1
x⁴ + x²	x⁶ + x²	x⁶ + x⁴ + 2x²	x⁶ + x⁴
x + 1	x² + 1	x² + x + 2	x² + x
x³ + x	x² + 1	x³ + x² + x + 1	x³ + x² + x + 1
x² + x	x² + x	2x² + 2x	0

在计算机科学的诸多应用程序之中，特征值为2的有限域运算被简单化，称之为GF(2ⁿ) 伽罗瓦域，使的这些领域在应用程序中，体现出一种特别大众化的选择。

乘法

乘法是在有限域之内，把乘积模除于，一则用来表示有限域的，简约过的不可约多项式。 (换句话说，乘法再跟上使用，简约了的多项式充当除数的除法，然后余数则是它们的乘积。) 符号 "•" 可以用作于在有限域之内的乘法。

Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的發音近於"Rhine doll")使用包含256个元素的持有特征值是2的有限域，同时可被称之为伽罗瓦域GF(2⁸)。在乘法上它依赖下列简约多项式：

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1

例如：{53} • {CA} = {01}，因为在Rijndael域中：

(x⁶ + x⁴ + x + 1)(x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= (x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x

= x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

与

x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x 模除 x⁸ + x⁴ + x³ + x¹ + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十进制)，同时可被长除法所表示，(使用二进制注释。注意 XOR在例题中的应用，而不是常规运算中的减法。)：

                        
          11111101111110 (mod) 100011011
         ^100011011     
           1110000011110
          ^100011011    
            110110101110
           ^100011011   
             10101110110
            ^100011011  
              0100011010
             ^00000000  
               100011010
              ^100011011 
                00000001

（十六进制数字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由于它们的乘积是1。)

^ C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.

[:0-1] C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.

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