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柄体

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亏格为3的柄体。

几何拓扑中,柄体(handlebody)是将流形分解为标准小块的一种方法。柄体在高维流形的莫尔斯理论配边理论和割补理论中发挥着重要作用。柄体尤其适用于研究3维流形。

柄体之于流形研究,好比单纯复形CW复形之于同伦论,允许人们从单个小块及其相互作用的角度分析空间。

n维柄体

n维有界流形

(其中n维球面n维球体)是嵌入,则称边界为

n维流形来自

附加(attach)以r柄。 边界割补而来。作为平凡例子,附加0柄就是取球的不交并;给附加n柄是沿 的任意球面组分胶合进一个球。勒内·托姆约翰·米尔诺莫尔斯理论证明流形(无论有无边)都是柄体,即流形可表为柄的交。这个分解不是唯一的:柄体分解的操作是证明斯梅尔h配边定理及其推广到s配边定理的基本要素。

若流形是r柄的交(),则称流形是k柄体,不同于流形的维度。例如,4维2柄体是0柄、1柄与2柄的并。流形都是n柄体,即流形都是柄的交。不难看出,当且仅当流形具有非空的边界时,流形是(n-1)柄体。

流形的柄分解确定了流形的CW复形分解,因为附加一个r柄同伦等价于附加一个r胞腔。不过,柄分解提供的信息不仅是流形的同伦类:柄分解在同胚意义上完全描述了流形。怪球面都是0柄与n并的交。4维中,只要附加映射光滑,甚至还能描述光滑结构;但在更高维度则不能。

3维柄体

柄体可定义为有向有界3维流形,包含逐对不交、规范嵌入(properly embed)的2圆盘,使沿圆盘切下的流形形成3球。想象一下这个过程反过来,是如何得到柄体的(有时最后一个定义中的“有向”被去掉了,于是就得到了具有无向柄的更一般的柄体)。

柄体的亏格是其边界曲面亏格。在同胚的意义上,非负整数亏格的柄体只有一个。

柄体在3维流形理论中的重要性来自于与希加德分裂的联系。几何群论中柄体的重要性来自于柄体的基本群自由这一事实。

较老的文献中,3维柄体有时被称作“有柄立方体”(cube with handles)。

例子

G维嵌入在n维欧氏空间的连通有限图。令V为欧氏空间中G的闭规范邻域,则V是n维柄体。图G称作V的“脊”(spine)。

0亏格柄体同胚于3。1亏格柄体同胚(其中),称作实环面(solid torus)。其他柄体都可通过取实环面集合的边界连通和得来。

另见

参考文献