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梅滕斯定理

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解析數論中,梅滕斯定理指的是三個弗朗茨·梅滕斯在1874年證明的定理,這些定理與質數密度相關。[1]

以下假定指的是所有不超過的質數。

梅滕斯第一定理

梅滕斯第一定理指的對於任何的而言,以下式的絕對值不會超過A083343):

梅滕斯第二定理

梅滕斯第二定理如下:

其中Meissel–Mertens常數A077761);更精確地說,梅滕斯[1]證明了對於任意的,以上的公式在極限意義下,其絕對值不會超過下式:

證明

證明梅滕斯第二定理的主要步驟如下:

其中最後的等式要求,而這可由得出。

因此我們證明了下式:

由於在時,質數的次方的倒數和收斂之故,這表示說

故由分部求和法可推得下式:

變號

在一篇於1983年出版的關於除數函數增長率的文章中,[2]Guy Robin證明了以下在梅滕斯第二定理中出現的差會變號無限多次:

此外,以下在梅滕斯第三定理中出現的差也會變號無限多次:

Robin的結果類似於李特爾伍德證明的「這個差會變號無限多次」的這定理。唯對於梅滕斯第二及第三定理而言,目前尚沒有類似於斯奎斯數這樣,最小的導致變號的自然數的上界。

與質數定理間的關係

梅滕斯在他的《兩個令人好奇的勒讓德公式》(two curious formula of Legendre)這篇論文中論及了這個非病態的公式[1],在這篇文章中出現的第一個公式是梅滕斯第二定理的原型;而同篇文章中出現的第二個公式是梅滕斯第三定理的原型,詳情可見該篇文的前面數行。他回憶說這公式出現在勒讓德的《數論》(Théorie des nombres)的第三版(出版於1830年,而實際上該公式出現於1808年出版的第二版中),且更加詳細的版本為切比雪夫在1851年所證明。[3]應當注意的是,歐拉在1737年就已知該公式的非病態行為。

梅滕斯禮貌性地描述說他的證明是更加精準且確實的。實際上在他之前的任何證明,在現代標準下都是不可接受的:歐拉的計算牽涉到無限(以及無限的雙曲對數和無限的對數的對數);勒讓德的論證是啟發性的;而切比雪夫證明,盡管邏輯上完美,但用到了直到1896年之前都尚未得證、並在後來被稱為質數定理的勒讓德─高斯猜想。

梅滕斯的證明並未用到在1874時尚未得證的任何猜想,且只用到基本的實分析,而這證明出現在質數定理得證的22年之前;而與之相對地,質數定理仰賴對做為複數域上的函數的黎曼ζ函數的行為的詳細分析。

由此來看,梅滕斯的證明在這方面是印象深刻的,事實上,以當今慣用的大O符號表記,其論述如下:

而若使用最簡單、不帶誤差項估計的質數定理,可證明下式成立:[4]

在1909年,愛德蒙·蘭道(Edmund Landau)用他當時可得的最好的質數定理的版本,證明了下式成立:[5]

特別地,對任何固定數而言,這誤差項小於

對已知的最強版本使用簡單的分部求和技巧,可將之改進為:

對於一些而言,有

類似地,使用分部求和法可證明說質數定理蘊含了

梅滕斯第三定理

梅滕斯第三定理如下:

其中歐拉-馬斯刻若尼常數。(A001620

篩法的關係

對於「)沒有小於的因子的機率」的估計,可由下式給出:

這與梅滕斯第三定理密切相關,因為梅滕斯第三定理給出了下式的非病態估計:

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 F. Mertens. J. reine angew. Math. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
  2. ^ Robin, G. Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseurs. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics. 1983, 38: 233–244. 
  3. ^ P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
  4. ^ I.3 of: G. Tenenbaum. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Translated from the second French edition (1995) by C. B. Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge,1995.
  5. ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.

延伸閱讀

外部連結