在数论中,二次剩余的歐拉判別法(又稱歐拉準則)是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。
叙述
若
是奇質數且
不能整除
,則:
是模
的二次剩余当且仅当:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89b7999dc3ab653bd541ec9384c7f0ce5f1295)
是模
的非二次剩余当且仅当:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7379bad3d1f0af0228c293f5179398426161e4)
以勒让德符号表示,即為:
举例
例子一:对于给定数,寻找其为二次剩余的模数
令
。对于怎样的质数
,17是模
的二次剩余呢?
根据判别法里给出的准则,我们可以从小的质数开始检验。
首先测试
。我们有:
,因此17不是模3的二次剩余。
再来测试
。我们有:
,因此17是模13的二次剩余。实际上我们有:
,而
.
运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去,可以得到:
- 对于质数
(也就是说17是模这些质数的二次剩余)。
- 对于质数
(也就是说17是模这些质数的二次非剩余)。
例子二:对指定的质数p,寻找其二次剩余
哪些数是模17的二次剩余?
我们可以手工计算:
![{\displaystyle 1^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe56b7b4e734807a58e2b652343c06252fe8e736)
![{\displaystyle 2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544566e539538b9b5d5f9106712550b2c80da685)
![{\displaystyle 3^{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce3bb0717e9aa3fd7c54d6676a7a7fe15e78e66)
![{\displaystyle 4^{2}=16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891f0a31ba5eed6c31d8879cd3aa3aa66ecd2ea4)
![{\displaystyle 5^{2}=25\equiv 8{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f36a0f6ca294ca60f59ed6da9e1b70180237f7c)
![{\displaystyle 6^{2}=36\equiv 2{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9b077fc0cf5b1555599d97ec737bfc34d116ea)
![{\displaystyle 7^{2}=49\equiv 15{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286d73875b48f4c496fdc6b40af7d2e2c7e7e4af)
![{\displaystyle 8^{2}=64\equiv 13{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294f5c9e7d668bf132f686a3c0e919a41e103813)
于是得到:所有模17的二次剩余的集合是
。要注意的是我们只需要算到8,因为
,9的平方与8的平方模17是同余的:
.(同理不需计算比9大的数)。
但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余,就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余,只需要计算
,然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。
欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关,并且在定义欧拉-雅可比伪素数(见伪素数)时会用到。
證明
首先,由于
是一个奇素数,由费马小定理,
。但是
是一个偶数,所以有
![{\displaystyle (d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f732d673ad9beb694ad30725bd6630078890c6a)
是一个素数,所以
和
中必有一个是
的倍数。因此
模
的余数必然是1或-1。
- 證明若
是模
的二次剩餘,則![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89b7999dc3ab653bd541ec9384c7f0ce5f1295)
若
是模
的二次剩餘,則存在
,
跟
互質。根據費馬小定理得:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1457aa6d80dccd292ecaa34a7e2cc66d3c76ddaa)
- 證明若
,則
是模
的二次剩餘
是一个奇素数,所以关于
的原根存在。设
是
的一个原根,则存在
使得
。于是
![{\displaystyle a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b440d41be3f24e1703611aa66fe5c450ddce4ffc)
是
的一个原根,因此
模
的指数是
,于是
整除
。这说明
是一个偶数。令
,就有
。
是模
的二次剩余。
參考资料
外部链接