在數學裡,尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中,正合序列(或釋作正合列或恰當序列)是指一個由對象及其間的態射所組成的序列,該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。
正合序列於同調代數中居於核心地位,其中特別重要的一類是短正合序列。
定義
在群論裡,一個由群及群同態所組成的序列
![{\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3772de53cc6beaa50e35506ddcbe0dadeb80bf6)
稱之為正合序列,若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核:
![{\displaystyle \operatorname {im} (f_{k})=\ker(f_{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0244c645e4f01c35be59da8d98034b48ff39d091)
上述的正合序列可以為有限序列,亦或是無限序列。
在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義,如將群與群同態替換成向量空間與線性映射,或是模與模同態,也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說,任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。
簡單例子
下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以平凡群作為開頭或結束,一般會將此一平凡群標記為0(表示加法運算,一般用於序列內的群為阿貝爾群時),或標記為1(表示乘法運算)。
- 序列0 → A → B 為正合序列,若且唯若從A 至B 的映射,其核為{0},亦即若且唯若該映射為單射。
- 在對偶時,序列B → C → 0 為正合序列,若且唯若從B 至C 的映射,其像為整個C,亦即若且唯若該映射為滿射。
- 因此,序列0 → X → Y → 0 為正合序列,若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射(即為雙射),並因此在大多數狀況下,該映射為從X 至Y 的同構。
短正合序列
短正合序列為具有下列形式的正合序列
![{\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667455874c8fb3b9436ed069e2d382879dfc398f)
如上所述,對任何一個短正合序列,f 一定為單射,且g 一定為滿射,且f 的像會等於g 的核。因此,可導出一同構
![{\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b23276fd2354fc3ff7ba5ba3d911166864a89ae)
若以下任一等價(依據分裂引理)條件成立,則稱短正合序列
分裂:
有截面(即存在
使得
)
有縮回(即存在
使得
)
- 該短正合序列同構(在鏈複形的意義下)於
![{\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f51c7adea372e2e075718e8369f6f89a4e0a8e)
- 其中的箭頭是直和的典範映射。
對於群的範疇,前兩個條件不一定蘊含第三個,它們只能保證
可以表為
與
的半直積;例如我們可考慮群同態
![{\displaystyle 1\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097250b876f8357a1698ec9a808e4bdde180da29)
其中
是3次對稱群。
由
給出,它的像是交代群
,商為
;但
無法分解成
。
將正合序列拆解為短正合序列
正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列,構造方式如下:考慮一正合序列
![{\displaystyle \cdots \longrightarrow A_{n-1}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow A_{n+1}\longrightarrow \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8410aa4240d55aaf91003e53c5a11cddc5997467)
設
![{\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {Im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {Coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dff7f14e64083b86f017468c653ff068c363303)
其中
,這就給出了一個短正合序列
![{\displaystyle 0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ae1ac6e286c529772f9a170b675dcae8fddde5)
一般而言,設
為鏈複形,我們同樣定義
;此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈
的正合性。
推廣
給定一個短正合序列
![{\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49adfb737de3880efe814fe7dbde09d5dd1362f6)
有時也稱
為
經由
的擴張。
詳閱條目Ext函子與群上同調。
長正合序列
若有鏈複形的短正合序列:
![{\displaystyle 0\longrightarrow C'_{\bullet }\longrightarrow C_{\bullet }\longrightarrow C''_{\bullet }\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da2e20811b39160c0b70ff682e84f511444715f)
反覆運用蛇引理,可以導出正合序列
![{\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C'_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n-1}(C'_{\bullet })\longrightarrow \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbba075c2fec048e57eca207e6d70133fd80a434)
對上鏈複形的上同調亦同,此時連接同態的方向是
。這類序列稱作長正合序列,它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中,長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。
參見