同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造

其过程如下：给定对象$X$，首先定义链复形，它包含了$X$的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模$A_{0},A_{1},A_{2},\dots$的序列，群同态$d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}$满足任何两个相连的同态的复合为0: $d_{n}\circ d_{n+1}=0$对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为商群（商模）

$H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).$

链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此$X$的同调群是$X$所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

非正式的例子

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$

其中第k个同调群$H_{k}(X)$描绘了X中的k维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔，因此$H_{0}(X)$描绘了X中的路径连通分支。

圆，或称为1维球面$S^{1}$

一维球面 $S^{1}$是一个圆。它有单个连通分支和一个一维洞，但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出

$H_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&k\neq 0,1\end{cases}}$

其中$\mathbb {Z}$为整数群，$\{0\}$为平凡群。群$H_{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$表示一个有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。

2维球面$S^{2}$即球的球壳，不包括球的内部。

二维球面$S^{2}$拥有1个连通分支，0个一维洞，1个二维洞，无更高维的洞。其对应的同调群为

$H_{k}(S^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&k\neq 0,2\end{cases}}$

一般地，对n维球面Sⁿ，其同调群为

$H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}$

实心盘，即2维球$B^{2}$

二维球B²是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支，但与圆不同的是，它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了$H_{0}(B^{2})=\mathbb {Z}$以外均为平凡群。

环面$T=S^{1}\times S^{1}$

环面被定义为两个圆$T=S^{1}\times S^{1}$的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支，两个独立的一维洞（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维洞（环面的内部）。其对应的同调群为

$H_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&k>=3\end{cases}}$

两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

例子

导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形$X$的单纯同调。$A_{n}$在这里就是$X$中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

$(a[0],a[1],\dots ,a[n])$

映射为如下的和

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n]).$

如果我们将模取在一个域上，则$X$的n阶同调的维数就是$X$中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间$X$的奇异同调。我们定义$X$的上同调的链复形中的空间为$A_{n}$为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到$X$的连续函数。同态$d_{n}$从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子$F$和某个模$X$开始。$X$的链复形定义如下：首先找到一个自由模$F_{1}$和一个满同态$p_{1}:F_{1}\rightarrow X$。然后找到一个自由模$F_{2}$和一个满同态$p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})$。以该方式继续，得到一个自由模$F_{n}$和同态$p_{n}$的序列。将函子$F$应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调$H_{n}$仅依赖于$F$和$X$，并且按定义就是$F$作用于$X$的n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$到链复形$(e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})$的态射是一个同态的序列$f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$，满足$f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}$对于所有n成立。n阶同调 $H_{n}$可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象$X$（也就是任何态射$X\rightarrow Y$诱导出一个从$X$的链复形到$Y$的链复形的态射），则$H_{n}$是从$X$所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于$X$，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为$H^{n}$）构成从$X$所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

若$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$是链复形，满足出有限个$A_{n}$外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})$

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})$

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象$X$的重要的不变量$\chi$.

每个链复形的短正合序列

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

导致一个同调群的长正合序列

$\cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,$

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射$H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)$之外。后者称为连接同态，有蛇引理给出。

参看

• 奇异同调
• 上同调
• 同调论
• 同调代数

參考文獻

• Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）.  有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398. 
• Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.