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能量串级

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可视化的湍流射流,使用激光诱导荧光英语Planar laser-induced fluorescence技术制成。射流涉及多个长度尺度,这是在湍流模型中出现能量串级的先决条件。

连续介质力学中,能量串级包括能量从大尺度运动到小尺度运动的传输(称为正向能量串级)或能量从小尺度到大尺度的传输(称为逆向能量串级)。这种不同尺度之间的能量转移只能发生在非線性系統中。严格来说,串级的能量传输发生在局部(仅在非常接近的尺度之间),类似于水从一个水池流动到下一个临近水池产生的层叠瀑布,而不会出现跨越整个尺度范围的远程传输。

在对完全成形的湍流的研究中,能量串级是一个重要概念。路易斯·弗莱·理查德森作于1920年代的这首诗描写了这种现象,令人记忆深刻。能量串级对于理解波湍流英语wave turbulence理论中的波涛现象也很重要。

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity
路易斯·弗莱·理查德森, 1922[1]

以气流在高层建筑周围形成的湍流为例。边界层分离所产生的涡流英语Eddy蕴含能量,其大小在数十米左右。这一尺度范围称为含能区。在气流下游的某处,空气的黏度导致的耗散主要发生在柯尔莫哥洛夫微尺度上,在这个例子中也就是毫米大小。这一尺度范围称为耗散区。而在这两个等级的尺度之间,没有外力作用,黏度也不会导致明显的耗散,却存在非线性的,从大尺度到小尺度的净能量传输。

如果含能区和耗散区之间存在很大距离,则它们之间的尺度范围称为惯性子区(英文:inertial subrange)。这些尺度上的运动可以通过自相似性来描述,或者通过对其统计学特征做出假设(从而满足湍封闭)来分析。安德雷·柯尔莫哥洛夫在1940年代开创性地推导出了对湍流惯性子区中波数谱的预测。

湍流惯性子区中的谱

在湍流能量谱中能量产生、串级、耗散的图示。

在湍流中,最大尺度的涡流蕴含最多的动能。而黏度导致的能量的耗散主要发生在最小的涡流中。柯尔莫哥洛夫假设,当这两种尺度之间距离很大时, 两者之间的尺度范围在统计学上具有各向同性,而它在达到平衡时的特征只取决于能量在小尺度上耗散的速率。(耗散机械能通过摩擦转化为热能的过程。)耗散速率 可以表示用湍流中波动的应变速率英语strain rate和流体的运动粘度 表示。它的量纲是能量/(单位质量·单位时间)。达到平衡状态时,在大尺度运动中产生湍动能英语turbulence kinetic energy的速率等于小尺度运动中耗散能量的速率。

湍流的能量谱

湍流的能量谱 取决于单位质量流体的湍动能英语turbulence kinetic energy[2]

其中 是波动的速度的分量,上划线表示系综平均值,表达式在 上求和, 是波数。所以能量谱 表示的是位于波数 之间的湍动能。较大的涡流具有较低的波数,较小的涡流具有较高的波数。

因为扩散是速度的拉普拉斯,耗散速率可以用能量谱表示:

其中 是流体的运动粘度。在这条等式中可以观察到,即使动能主要存在于低波数的运动(大涡流)中,耗散主要发生在高波数的运动(小涡流)中。

惯性子区中的能量谱

从低波数到高波数的能量传输称为能量串级。它把湍能量从大尺度运动传输到小尺度运动,并最终被黏度耗散掉。这之间的尺度区间,即惯性子区中,由柯尔莫哥洛夫的假设可以推导出能量谱的普遍形式:

各类条件下的大量实验证据都支持这一结论。在实验中测得的数值为 [2]

压强波动的谱

湍流中的压强波动也可以以类似的方式描述。湍流中压强平方的平均值可以用压强谱 来表示:

对于没有平均速度梯度的湍流(各向同性湍流),惯性子区中的谱是

其中 是流体的密度,[3]如果有平均速度梯度(剪切流英语shear flow),则会在惯性子区中的谱中额外附加形如 的变化趋势;但在较高波数的位置,形如 的变化趋势占据主导地位。

自由流体界面微小扰动的谱

自由流体界面下方的压强波动可以驱动液面位移。这种自由界面-湍流相互作用也可以用波数谱来描述。如果 是界面距离平均位置的瞬时位移,位移平方的平均值可以用位移谱 来表示:

三维形式的压强谱可以与杨-拉普拉斯公式相结合并得出[4]

在实验中,这一 定律是在对无湍流射流表面的光学观测中得出的。[4]

注释

  1. ^ Richardson, Lewis Fry. Weather Prediction by Numerical Processes. Boston: Cambridge University Press. 1922: 66 [2019-02-23]. ISBN 9780511618291. 
  2. ^ 2.0 2.1 Pope, S.B. Turbulent Flows. Cambridge University Press. 2000. 
  3. ^ George, W.K.; Beuther, P.D. & Arndt, R.E.A. Pressure spectra in turbulent free shear flows. Journal of Fluid Mechanics. November 1984, 148: 155–191. Bibcode:1984JFM...148..155G. S2CID 119938972. doi:10.1017/S0022112084002299. 
  4. ^ 4.0 4.1 Bhunia, S.K.; Lienhard V, J.H. Surface Disturbance Evolution and the Splattering of Turbulent Liquid Jets. Journal of Fluids Engineering. December 1994, 116 (4): 721–727. doi:10.1115/1.2911841. 

参考文献