在機率論中,重尾分布(英語:Heavy-tailed distribution)是一種機率分佈的模型,它的尾部比指數分布還要厚。在許多狀況中,通常右邊尾部的分布會比較受到重視,但左邊尾部比較厚,或是兩邊尾部都很厚的狀況,也會被認為是一種重尾分布。
重尾分布之中,又有兩個子類型,分別稱為長尾分布(long-tailed distributions)以及次指數分布(subexponential distributions)。
定義
重尾分布
在一個累積分布函數中,一個随机变量 X 的分布狀況,在以下狀況時,被稱為是一個重尾分布。假設:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{\lambda x}\Pr[X>x]=\infty \quad {\mbox{for all }}\lambda >0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e2d140666dca7c23aa221fe898d4f9340fec48)
如果以尾部分布函數的方式來呈現時,
![{\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr(X>x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf349e91f953393a322798d2c799ef96886f550)
最後可以被寫成:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{\lambda x}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{for all }}\lambda >0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e57db77b7cbc0d768880e379af930f6aaa89d98)
這相當於一個動差生成函數 F, MF(t) ,對所有的t > 0 來說,都是無限的[1]。
重尾分布的左尾,與雙尾分布,定義相同。
長尾分布
在一個累積分布函數中,一個随机变量 X 的分布,出現以下狀況時,被稱為是一個長尾分布。假設對所有t > 0 :
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t|X>x]=1,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7bd44e6fd7104d03335f83ad1e9759cdf643f3)
這相等於
![{\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4830dc912483fd34e658467ba70c91c0a802d38)
對一個右尾部形成長尾分布的狀況,我們可以做一個直觀的解釋:假如一個長尾分布的尾部數量超過某個很高的水準,它超過另一個更高水準的機率會接近於一。也就是說,如果你發現狀況很糟,它可能會比你想像的還要糟。
長尾分布是重尾分布中的一個特例。所有的長尾分布都是重尾分布,但反之則不然,也就是說,我們可以找出某一個重尾分布,它不是長尾分布。
次指數分布
次指數分布是以機率分佈的摺積定義出來的。兩個獨立、不同的隨機變數
的共同分布函數
,它自己的摺積定義為
,使用勒貝格-史台傑斯積分(Lebesgue–Stieltjes integration)
定義為:
![{\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x-y)\,dF(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3902f84eb1b2b3896d5e8721d2ec3acd3d320d4)
n-fold摺積的
也以同樣方式定義。其尾端分布函數
定義為
。
當以下式子成立,機率分佈函數
在正的中線(positive half-line)上,被定義為次指數分布:
![{\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659b305c6390d626832c7b1ea1a3363366d0e612)
這也意味著,對所有
來說:
![{\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78352bcb8d15897e83a3213ccebf99bcb34d02d5)
註釋
- ^ Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, Stochastic Processes for Insurance and Finance, 1999