根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件
量值條件(magnitude condition)是自動控制的根軌跡圖中,有關量值的限制條件,根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件。量值條件和角度條件可以完全確定根軌跡圖。
令系統的特徵方程為
,而
,可改寫為以下各因式相乘的形式
,
則量值條件是指找到K值使下式成立:
![{\displaystyle |G(s)H(s)|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34209997ca59b567bcd3671ade8c8b8e82cb3d5f)
也就是說
.
推導
令
。
將
改寫為各因式相乘的形式
![{\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419aa2574762a2cf9152d436f7ff9bfaf8d61bfd)
量值條件即是
![{\displaystyle {\frac {|{\textbf {P}}(s)|}{|{\textbf {Q}}(s)|}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bfc61372ad8d3e8ffd195cdf50ead8bb81a17b)
也就是
![{\displaystyle K{\frac {|s-a_{1}||s-a_{2}|\cdots |s-a_{n}|}{|s-b_{1}||s-b_{2}|\cdots |s-b_{m}|}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b9f490b95b925c245d2ba267ae58d1dcff6844)
若將控制方程改為極坐標表示:
![{\displaystyle e^{j2\pi }+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a8765091bf4a989ddd2e0830c87391c866fa9f)
其中
,這些是方程式所有的解。
將每一個因子
及
都用等效的向量
及
來表示,因此
可以再作整理。
![{\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\phi _{1}+\phi _{2}+\cdots +\phi _{m})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437247d8039415aed0e0ca4ae0ae6606e3cf1d04)
簡化特徵方程式。
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{j(\pi +2k\pi )}&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\phi _{1}+\phi _{2}+\cdots +\phi _{m})}}}\\&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}}}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\phi _{1}+\phi _{2}+\cdots +\phi _{m}))},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df339f39d9a91f9c795bcb2e1ebf15be4bdb92d)
因此可以推導出另一個形式的量值條件:
![{\displaystyle 1=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434fc1634c436565d019301f9f84f7a6d3e49c5b)
也可以用類似的方式推導角度條件。