魏尔施特拉斯分解定理

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魏尔施特拉斯分解定理(英語:Weierstrass factorization theorem)是指任意整函数可以分解为如下无穷乘积的形式:

其中是另一整函数,是上述无穷乘积收敛的最小整数,称为亏格是魏尔施特拉斯的基本因子。这种无穷乘积称为典范乘积。求解的方法一般是两边同时取对数再求导数,这样右边就可以化为无穷级数形式,通过对比无穷级数理论中的相关结果得出的形式。

基本因子

英文为primary factors或是elementary factors。也有译为“主要因子”的版本。[1]

对于任意的基本因子的定义如下:[2]

其中,级数

对于级数,有如下性质。以下性质在后续引理的证明中会用到(主要是3.、4.与5.)。

  1. 的情况下,可被展开。接着两边同时积分,可得。所以的极限可以表示为
  2. 因为,所以
  3. 如果将之间的差额定义为新的级数
  4. 利用2.与3.改写的定义式:。改写后的基本因子定义式将会在后续引理的证明中用到。
  5. 将3.的关系写成级数形式:

利用以上性质,可以证明下面的重要引理。该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用。[2]


引理 (15.8, Rudin): 对于

成立。

证明:

时,显而易见。所以只讨论的情况。

i) 将引理左边的部分(不带绝对值)定义为一个新函数。后续称此式为式

运用性质4.与5.改写式

将指数部分展开后可得(为了简洁,系数用字母表示):

整理后可得,可以用一个新的级数来表示:。将系数统一用(如)来标注的话,

将该结果微分,可得:

ii) 将式直接微分,可得

将指数部分展开可得。

结论1:比较i)ii)的结果。比较项可知,。同样的方法比较后续项可知,皆为正的实数

iii) 基于新设一个级数。因为极点是一个可消极点,所以这也是一个整函数。计算

所以在给定的条件下,运用绝对值不等式的基本性质和结论1:

即,成立。引理(15.8)证明完毕。

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延伸阅读

  • Alford的《复分析》

参考资料

  1. ^ Boas, R. P., Entire Functions, New York: Academic Press Inc., 1954, ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.
  2. ^ 2.0 2.1 Rudin, W., Real and Complex Analysis 3rd, Boston: McGraw Hill: 301–304, 1987, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .