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User:JasonWiki/Drafts/201710/线性空间

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子空間基底

向量组的线性无关

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V線性子空間(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空间

給出一個向量集合B,那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也称線性包络,记作span(B)。

給出一個向量集合B,若它的生成子空间就是向量空間V,则稱BV的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V線性獨立子集,稱為這個空間的。若V={0},约定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列:,那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現:

这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明,一个向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中, ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:

那么v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:

可以证明,存在从任意一个n维的-向量空间到空间双射。这种关系称为同构。