在量子力學和散射理論中,一維的階梯位能是一個理想化的系統,用以模擬物質波的入射、反射與透射。在此問題中,需要處理粒子在一維階梯位能中的不含時薛丁格方程。 一般而言,可以用黑維塞階梯函數來模擬此階梯位能。
計算
薛丁格方程與位能函數
綠線是高度為V0的階梯位能。黃線是入射波,藍線是反射與透射波。紅線的情況不會發生。在此E > V0。
波函數
所滿足的不含時的薛丁格方程如下:
![{\displaystyle H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b39d945db2bc9db123ab8db5a20fb5e83ec935)
在此H 是哈密頓算符, ħ 是約化普朗克常數, m 是質量, E 是粒子的能量。此階梯位能只是高度V0與黑維塞階梯函數的乘積。
![{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064b61bc1076e9dd3bd69e2163d9a5df9f1aabe6)
此階梯函數將障壁置於 x = 0 處。若置於任意位置 x0 並不會改變結果,僅須將位置座標平移 -x0 即可。
哈密頓算符中的第一項
是粒子的動能。