二次规划
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二次规划(Quadratic programming),在运筹学当中,是一种特殊类型的最优化问题。
简介
一个有n个变数与m个限制的二次规划问题可以用以下的形式描述。首先给定:
- 一个 维的向量
- 一个 维的对称矩阵
- 一个 维的矩阵
- 一个 维的向量
则此二次规划问题的目标即是在限制条件为
的条件下,找一个n 维的向量 x ,使得
为最小。其中是的转置。
根据不同的参数特性,可以得到对问题不同的结论
- 如果Q是半正定矩阵,那么f(x)是一个凸函数。相应的二次规划为凸二次规划问题;此时若约束条件定义的可行域不为空,且目标函数在此可行域有下界,则该问题有全局最小值。
- 如果Q是正定矩阵,则该问题有唯一的全局最小值。
- 若Q为非正定矩阵,则目标函数是有多个平稳点和局部极小点的NP问题。
- 如果Q=0,二次规划问题就变成线性规划问题。
根据优化理论,一个点x成为全局最小值的必要条件是满足Karush-Kuhn-Tucker条件(KKT)。当f(x)是凸函数时,KKT条件也是充分条件。
当二次规划问题只有等式约束时,二次规划可以用线性方程求解。否则的话,常用的二次规划解法有:
- 内点法(interior point)
- active set
- 共轭梯度法
- 椭球法 若Q为正定矩阵,则相应的二次规划问题可由椭球法在多项式时间内求解。
- 增广拉格朗日法
- 梯度投影法
凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。
对偶
每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。以正定矩阵Q为例:
对偶问题,可定义为
可用:得到的极小
- ,
对偶函数:
对偶问题为:
maximize :
subject to :
计算复杂性
当Q正定时,用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q非正定时,二次规划问题是NP困难的。即使Q只存在一个负特征值时,二次规划问题也是NP困难的。 [1] [2]
参考文献
- ^ Sahni, S. Computationally related problems (PDF). SIAM Journal on Computing. 1974, 3 (4): 262–279 [2022-09-07]. CiteSeerX 10.1.1.145.8685
. doi:10.1137/0203021. (原始内容 (PDF)存档于2022-04-26).
- ^ Pardalos, Panos M.; Vavasis, Stephen A. Quadratic programming with one negative eigenvalue is (strongly) NP-hard. Journal of Global Optimization. 1991, 1 (1): 15–22. S2CID 12602885. doi:10.1007/bf00120662.