伯特兰定理

  提示：此条目页的主题不是伯特兰－切比雪夫定理。

约瑟·伯特兰

在经典力学里，伯特兰定理阐明，只有两种位势$V$可以给出闭合轨道：

• 平方反比有心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程表示为

$V(r)={\frac {-k}{r}}$。

• 径向谐振子势：

$V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}$。

其中，$r$是径向坐标，$k$是正值常数。假若物体从某位置移动，经过一段路径后，又回到原先位置，则称此路径为闭合轨道。

1687年，物理学家艾萨克·牛顿在著作《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律，解释了行星绕着太阳的公转为何遵守开普勒定律。此后许多科学家开始研究，当行星的运动稍许偏离了这轨道时，可能会发生的状况。其中一个问题为轨道是否仍旧闭合。但经过多年的探讨亦无法给出合理的解答。直到1873年，法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理，才正确解析此问题。该定理对于经典天体力学研究非常重要，伯特兰定理给予实验者一个精确的方法，来测试万有引力的平方反比性质。

在现代物理学里，理论物理学家发现由于广义相对论效应，引力与距离不再成精确的平方反比关系，因此轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到，水星绕着太阳公转的椭圆轨道，其近拱点呈缓慢进动状态。

前论

所有吸引性有心力都可以产生圆形的公转轨道；这圆形轨道当然是闭合轨道；其形成的唯一条件是有心力恰巧地与离心力等值；后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非有心力。一般而言，非有心力不会产生圆形的公转轨道。

采用极坐标$(r,\theta )$，一个移动于连心势$V(r)$的粒子，其拉格朗日量${\mathcal {L}}$是

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)$。

其中，$m$是粒子质量，${\dot {r}}$、${\dot {\theta }}$分别表示$r$、$\theta$对于时间$t$的导数。

这粒子的拉格朗日方程为

$m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0$、

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0$。

由于角坐标$\theta$显性地跟拉格朗日量无关，$\theta$是个可略坐标，其共轭动量（角动量）$\ell$守恒，$\ell$是个常数：

$\ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$。

将角动量的方程代入径向拉格朗日方程，可以得到一个$r$的二次微分方程，

$m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0$。

假设轨道是圆形轨道，方程左手边第一个项目是零，则如同期待的，有心力$-{\frac {dV}{dr}}$等值于离心力$-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}$。

对于时间的导数与对于角变数的导数之间关系为

${\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}$。

将这公式代入，可推导出一个跟角度有关，跟时间无关的轨道方程：

${\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$。

设定变数$u={\frac {1}{r}}$，改换方程的变数为$u$，同时将方程两边乘以${\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}$，可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程：

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)$。

导引

如同前面所说，给予粒子适当的初始速度，任何有心力都能产生标准圆形轨道。可是，假设给予粒子某径向速度，则这些轨道可能不稳定（稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道），也可能不闭合。本段落会证明，稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势（一个必要条件）。下一个段落会证明，这些位势的确会产生稳定的闭合轨道（一个充分条件）。

为了简化标记，设定

$J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)$；(1)

其中，$f(1/u)$是有心力函数。

则轨道方程为

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)$。

如果要得到半径为$r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}$的圆形运动轨道，必要条件是轨道方程左边第一项等于零，方程变为

$u_{0}=J(u_{0})$。

思考对于标准圆形运动轨道的变数$u$的摄动$\eta \equiv u-u_{0}$，函数$J(u)$在$u_{0}$的泰勒级数为

$J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots$。

将此展开示代入轨道方程：

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots$。

设定常数$\beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})$（$\beta =0$的解答为标准圆形运动轨道）：

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots$。(2)

取至$\eta$的1次方：

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0$。

$\beta ^{2}$必须是个非负数；否则，轨道的半径会呈指数方式递增。一阶摄动解答为

$\eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )$；

其中，振幅$h_{1}$是个积分常数。

假若这轨道是闭合轨道，则$\beta$必须是有理数。继续运算，从方程(1)，取对于$u$的导数：

${\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}$ 。

这方程对于任意$u_{0}$值都必须成立，因此可以将$u_{0}$认定为函数$\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}$的参数。用符号$u$来代替$u_{0}$，

${\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}$。

将方程的变数换回为$r$，

${\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}$。

这意味著作用力必须遵守幂定律：

$f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}$。

代入方程 (1) , $J$的一般形式为

$J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}$。(3)

假设实际轨道与圆形有更大的差别（也就是说，不能忽略$J$函数的泰勒级数的更高次方项目），则可以用傅里叶级数来展开$\eta$：

$\eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots$。

因为高频率项目的系数太小，傅里叶级数只取至$3\beta$项目。方程 (2)也只取至$\eta$的三次方。注意到$h_{0}$与$h_{2}$的数量级为$h_{1}^{2}\!$，超小于$h_{1}$；$h_{3},\!$的数量级为$h_{1}^{3}$，超小于$h_{0}$与$h_{2}$。将上述傅里叶级数代入方程 (2)，匹配方程两边同频率项目的系数。这样，可以得到一系列方程：

$h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}$，(4)

$0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}$，(5)

$h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}$。(6)

求$J(u)$在$u_{0}$对于$u$的微分：

$J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}$

$J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}$。(7)

$J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}$。(8)

将方程(7)、(8)代入方程(4)、(6)：

$h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}$，(9)

$h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}$。(10)

再将方程 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程 (5)，经过一番运算，可以得到伯特兰定理的重要结果：

$\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0$。

解答$\beta =0$是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 ($\beta =1$)与径向谐振子势 ($\beta =2$)能够造成稳定的，闭合的，非圆形的公转轨道。

平方反比力（开普勒问题）

平方反比有心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程表示为

$V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku$。

处于这种连心势的粒子，其一般轨道方程写为

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2}}}$。

其解答为轨道函数$u(\theta )$：

$u={\frac {km}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]$；

其中，$e$是椭圆轨道的离心率，$\theta _{0}$是相位差，是一个积分常数。

这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程。当$e=0$时，这轨道对应于圆形轨道； 当$e<1$时，这轨道是椭圆形轨道；当$e=1$时，这轨道是抛物线轨道；当$e>1$时，这轨道是双曲线轨道。

离心率与粒子能量$E$的关系为

$e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{k^{2}m}}}}$。

所以，当$E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2}}}$时，这轨道是圆形轨道； 当$E<0$时，这轨道是椭圆形轨道；当$E=0$时，这轨道是抛物线轨道；当$E>0$时，这轨道是双曲线轨道。

径向谐振子

为了方便解析这问题，采用直角坐标$\mathbf {r} =(x,y,z)$。势能可以写为

$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$。

处于径向谐振子位势的粒子，其拉格朗日量${\mathcal {L}}$是

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$。

这粒子的拉格朗日方程为

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0$、

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0$、

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0$；

其中，$\omega _{0}=k/m$是振动频率。

常数$k$必须为正值；否则，粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程的解答为

$x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)$、

$y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)$、

$z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)$；

其中，$A_{x}$、$A_{y}$、$A_{z}$分别为x、y、z方向的振幅，$\phi _{x}$、$\phi _{y}$、$\phi _{z}$分别为其相位

由于上述方程经过整整一周期$T\equiv {2\pi }/{\omega _{0}}$后，会重复自己，轨道解答$\mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]$是闭合轨道。

牛顿旋转轨道定理

牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子$\alpha$是有理数，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程，增添的立方反比力$\Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}$为

$\Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-\alpha ^{2}\right)$；

其中，$\ell _{1}$是粒子原本的角动量，$m$是粒子的质量。

所以，$\alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2}}}$。

由于$\alpha$是有理数，$\alpha$可以写为分数$m/n$；其中，$m$和$n$都是整数。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成$m$圈公转的时间等于原本完成$n$圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理，因为，增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。

参阅

• 二体问题
• 三体问题
• 开普勒定律
• 牛顿旋转轨道定理

参考文献

Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449  引文格式1维护：冗余文本 (link)