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伴随函子

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范畴论中,函子若满足,则称之为一对伴随函子,其中称为右伴随函子,而左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。

定义

为函子,若存在双函子的同构

则称为一对伴随函子称为右伴随函子,而左伴随函子

上述同构进一步给出两个同构

分别在同构的左右两侧置,遂得到函子间的态射(即自然变换):

单位
上单位

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

正合性

是一对伴随函子,若为右正合则为左正合;此命题可由正合函子极限的定义直接导出。

例子

伴随函子在数学中处处可见,以下仅举出几个例子:

  • 自由对象遗忘函子是一对伴随函子,举范畴为例,此时单位态射不外是集合到它生成的自由群的包含映射。
  • 对角函子
  • 为右-模,则为一对伴随函子。当可交换时,上式的可代为可代为
  • 的正像与逆像。
  • 群表示理论中的弗罗贝尼乌斯互反定理(详阅诱导表示)。

文献

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部链接