在复分析中,博雷尔-卡拉西奥多里定理(Borel-Carathéodory theorem)表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用,以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。
定理陈述
设函数
在以原点为圆心以
为半径的闭圆盘上解析。假设
,则有以下不等式:
其中左边的范数是
在闭圆盘上的最大值:
证明
定义
。
首先设
。由于
是调和的,可以取
。
映到直线
左边的半平面
。我们想把这个半平面映到圆盘上,再用施瓦茨引理,得到所要的不等式。
把
变成标准左半平面。
把左半平面变成圆心在原点且半径为
的圆。它们的复合映射把0映成0,就是所需要的映射:
对上面这个映射与
的复合使用施瓦茨引理,得到
取
,上式变为
所以
对于一般的情况,考虑
整理后即得所要证明的不等式。
参考资料
- Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
- Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.