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卡诺定理:若三角形三边上的垂线交于一点F,则蓝色区域面积等于红色区域面积
卡诺定理以拉扎尔·卡诺命名,为垂直于三角形各边的直线是否交于一点提供了一个充分必要条件。该定理也可被视为是毕氏定理的一般化。
定理
对于一个三角形
,其三边为
。考虑三条垂直于各边且交于一点的直线,若
是这三条垂线在
上的垂足,则下列关系式成立:
![{\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a3a124eb1a011addcf74be95478271272f595d)
该命题的逆命题同样成立:若
在边上的位置满足关系式,则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此,该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件。
特例
若三角形
的角
为直角,则可以将三条垂线的交点
置于
上。此时由于
、
且
,可得
、
、
、
、
与
,代入卡诺定理的关系式后,即可推得毕氏定理
。
若三条垂线皆为中垂线,则
、
且
,无论三边长度为何,上述关系式必会成立,故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。
参考资料