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奥珀曼猜想

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奥珀曼猜想是数学上关于质数分布的一个悬而未决的问题。[1]该猜想与勒让德猜想安德里卡猜想以及布罗卡猜想等密切相关但较强。该猜想以丹麦数学家卢兹维·奥珀曼英语Ludvig Oppermann的名字命名,因为他在1877年3月在一篇未出版的讲稿中提及此猜想。[2]

陈述

该猜想指称,对于任意的x>1而言,至少有一个质数存在于x(x-1)x^2之间,且至少有一个质数存在于x^2x(x+1)之间。

该猜想也可等价地表述为“素数计数函数对这些区间的端点必须取不等号”,[3]也就是说,对于任意的x>1而言有:

π(x^2-x) < π(x^2) < π(x^2+x)

其中π(x)指的是小于等于x的质数个数。

这两个区间的端点是介于两个矩形数之间的完全平方数,其中的两个矩形数是一对三角形数的两倍。两个三角形数的和是完全平方数。

后果

若该猜想为真,那么质数间隙的大小如下:

而这也表示在x^2(x+1)^2之间至少有两个质数,其中之一在x^2x(x+1)之间,另一个在x(x+1)(x+1)^2之间,而这比勒让德猜想的此区间中至少有一个质数来得强;类似地,由于任意两个奇质数间至少有一个非质数的事实之故,因此从该猜想也可导出布罗卡猜想,而布罗卡猜想指的是两个奇质数的平方之间,至少有四个质数;[1]不仅如此,该猜想也意味着如安德里卡猜想所言的一般,两个相邻质数的最大间隙,至多只能这些数的平方根的两倍成正比。

该猜想也意味着在质数螺旋的每四分之一个旋转上,都至少有一个质数。

现状

即使对小的x而言,此猜想范围内的质数数量都远超过一,这为此猜想提供了强力的证据;然而截至2024年 (2024-Missing required parameter 1=month!)为止,该猜想都尚未得到证明。[1]

参见

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Wells, David, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons: 164, 2011, ISBN 9781118045718 .
  2. ^ Oppermann, L., Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder, 1882: 169–179 [2024-01-08], (原始内容存档于2023-01-21) 
  3. ^ Ribenboim, Paulo, The Little Book of Bigger Primes, Springer: 183, 2004, ISBN 9780387201696 .