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开普勒三角

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开普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三边之比等于,其中黄金比.德国数学家天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与勾股定理巧妙地结合在了一起.

开普勒三角形

与代数的关系

给定两个正实数a、b,若他们的算术平均数几何平均数调和平均数能够构成一个直角三角形,那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。

作开普勒三角形

开普勒三角形可通过尺规作图法作出。方法是先作出黄金矩形

通过黄金矩形,用尺规作图作开普勒三角
  1. 用尺规作图法作一个正方形
  2. 作出其中一边的中点
  3. 连接这一中点与与之相对的正方形的顶点
  4. 以这一中点为圆心,已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
  5. 补全作出的黄金矩形
  6. 以黄金矩形的一个顶点为圆心,一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点,连接该点与顶点,即作出了开普勒三角形。

数学巧合

正方形和圆的图
正方形和圆的周长近似相等

若绘制一个三边为的开普勒三角形,并且考虑

  • 其外接圆
  • 边长等于(三角形中数值介于中间的边长)的正方形

则正方形的周长)和圆的周长()相当接近,误差小于0.1%。

这是因为数学巧合,上述的圆和正方形其周长不可能相同,若是相同,就可以求解化圆为方的不可能问题了。换句话说,因为超越数

一些资料指出,埃及金字塔设计时有用到开普勒三角[1][2]。不过古埃及人可能不知道有关和黄金比例之间的数学巧合[3]

参考资料

  1. ^ Squaring the circle, Paul Calter. [2016-12-28]. (原始内容存档于2011-09-02). 
  2. ^ The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)
  3. ^ Markowsky, George. Misconceptions about the Golden Ratio (PDF). College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). January 1992, 23 (1): 2–19. JSTOR 2686193. doi:10.2307/2686193. (原始内容存档 (PDF)于2020-12-11). It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings 

参见