数学子领域数值分析中的德卡斯特里奥算法(英语:De Casteljau's algorithm),以发明者保尔·德·卡斯特里奥命名,是计算伯恩斯坦形式的多项式或贝塞尔曲线的递归方法。
虽然对于大部分的体系结构,该算法和直接方法相比较慢,但它在数值上更为稳定。
定义
贝兹曲线B(角度为n,控制点
)可用以下方式运用德卡斯特里奥算法
,
其中b为伯恩施坦基本多项式
.
曲线在t0点上可以用递推关系式运算
![{\displaystyle \beta _{i}^{(0)}:=\beta _{i}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc8fa1843a2b22addc72880c7ccf2d68a19b1dc)
![{\displaystyle \beta _{i}^{(j)}:=\beta _{i}^{(j-1)}(1-t_{0})+\beta _{i+1}^{(j-1)}t_{0}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n-j{\mbox{ , }}j=1,\ldots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5dd3746c03b87584a6a379595332ff0f30bf0c)
然后,
在
点上的计算可以此算法的
步计算。
的结果为:
![{\displaystyle B(t_{0})=\beta _{0}^{(n)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e58a9b6e472c671520531b405d5aedb10e51797)
再者,贝兹曲线
可在
分成带有各种控制点的两段曲线:
![{\displaystyle \beta _{0}^{(0)},\beta _{0}^{(1)},\ldots ,\beta _{0}^{(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80d473388ce635945b4cc751ed704789e8e2966)
![{\displaystyle \beta _{0}^{(n)},\beta _{1}^{(n-1)},\ldots ,\beta _{n}^{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09ff951b277c404ca6d4f40ac34187c9cc775d8)
注意事项
进行手算时把系数写成三角形形式很有用。
![{\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}&=\beta _{0}^{(0)}&&&\\&&\beta _{0}^{(1)}&&\\\beta _{1}&=\beta _{1}^{(0)}&&&\\&&&\ddots &\\\vdots &&\vdots &&\beta _{0}^{(n)}\\&&&&\\\beta _{n-1}&=\beta _{n-1}^{(0)}&&&\\&&\beta _{n-1}^{(1)}&&\\\beta _{n}&=\beta _{n}^{(0)}&&&\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fd085f9048ffc54657fc80dfae9bab07d4f783)
当选择一点t0来计算波恩斯坦多项式时,我们可以用三角形形式的两个对角线来构造多项式的分段表示。
![{\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(0)}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}\qquad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb84d69bb346f499c657d7e0737dda3ee72535fa)
把它变成
![{\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{0}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t}{t_{0}}}\right){\mbox{ , }}\qquad t\in [0,t_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb872182151fb849a91f142f00b0a7ecb6c0eed)
以及
![{\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(n-i)}b_{i,n}\left({\frac {t-t_{0}}{1-t_{0}}}\right){\mbox{ , }}\qquad t\in [t_{0},1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ea4239f7425782fc773820c1c01f6450856354)
例子
我们要计算2次波恩斯坦多项式,其伯恩斯坦系数为
![{\displaystyle \beta _{0}^{(0)}=\beta _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b906ff14964ea77ba3a8d1e1484c835a53c54c65)
![{\displaystyle \beta _{1}^{(0)}=\beta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0afa61238e8ecc64244d7f5f80046ae9fb6e52)
![{\displaystyle \beta _{2}^{(0)}=\beta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef05314d830a915317409fbbf9e79c43bb2fa87c)
在t0点计算。
我们有下式开始递归
![{\displaystyle \beta _{0}^{(1)}=\beta _{0}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(0)}t=\beta _{0}(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da05473f0decd8d51d2050a89931402346a7ddc8)
![{\displaystyle \beta _{1}^{(1)}=\beta _{1}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{2}^{(0)}t=\beta _{1}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120f37276c5210b7ce79149582d873df8ff994f8)
递归的第二次重复结束于
![{\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}^{(2)}&=&\beta _{0}^{(1)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(1)}t_{0}\\\ &=&\beta _{0}(1-t_{0})(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}(1-t_{0})+\beta _{1}(1-t_{0})t_{0}+\beta _{2}t_{0}t_{0}\\\ &=&\beta _{0}(1-t_{0})^{2}+2\beta _{1}t_{0}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}^{2}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bcb28605f63867570a0712edccf9c04a9fa491)
这就是我们所预料的n阶伯恩斯坦多项式。
贝塞尔曲线
在计算带n+1个控制点Pi的三维空间中的n次贝塞尔曲线 (Bézier curve) 时
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7841aeeff9c1b50c687890c1a35194fc036309a8)
其中
.
我们把Bézier曲线分成三个分立的方程
![{\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}x_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc49c852d0ddc38093382f5562bfd61cbfeb0fb)
![{\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b169ad3d55321750016c7bf014e46319f229c1f8)
![{\displaystyle B_{3}(t)=\sum _{i=0}^{n}z_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464a9fad7d1512dd399ade0d86684e1ba47e9fb2)
然后我们用de Casteljau算法分别计算。
伪代码例子
这是一个递归的画出一条从点P1到P4,弯向P2和P3的曲线的伪代码例子。级数参数是递归的次数。该过程用增加了的级数参数来递归的调用它自己。当级别达到最大级别这个全局变量时,在P1和P4之间就画上直线。函数中点(midpoint)去两个点,并返回这两点间的线段的中点。
global max_level = 5
procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level)
if (level > max_level)
draw_line(P1, P4)
else
L1 = P1
L2 = midpoint(P1, P2)
H = midpoint(P2, P3)
R3 = midpoint(P3, P4)
R4 = P4
L3 = midpoint(L2, H)
R2 = midpoint(R3, H)
L4 = midpoint(L3, R2)
R1 = L4
draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1)
draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1)
end procedure draw_curve
代码实现
用线性插值计算P和Q之间的一点R,插值参数为t
用法:linearInterp P Q t
P = 代表一个点的表
Q = 代表一个点的表
t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
返回:代表点(1-t)P + tQ的表
> linearInterp :: [Float]->[Float]->Float->[Float]
> linearInterp [] [] _ = []
> linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t
计算一对控制点间的线性插值的中间结果
用法:eval t b
t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
b = 控制点的表
返回:对n个控制点,返回n-1个插值点的表
> eval :: Float->[[Float]]->[[Float]]
> eval t(bi:bj:[])= [linearInterp bi bj t]
> eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs)
用de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点
用法:deCas t b
t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
b = 控制点的表
返回:代表Bezier曲线上一个点的列表
> deCas :: Float->[[Float]]->[Float]
> deCas t(bi:[])= bi
> deCas t bs = deCas t (eval t bs)
用de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。
用法:bezierCurve n b
n = 要计算的点的个数
b = Bezier控制点列表
返回:Bezier曲线上n+1个点
例子:bezierCurve 50 <nowiki>[[0,0],[1,1],[0,1],[1,0]]</nowiki>
> bezierCurve :: Int->[[Float]]->[[Float]]
> bezierCurve n b = [deCas (fromIntegral x / fromIntegral n) b | x<-[0 .. n] ]
(该代码用到Python图像库(页面存档备份,存于互联网档案馆))
import Image
import ImageDraw
SIZE=128
image = Image.new("RGB", (SIZE, SIZE))
d = ImageDraw.Draw(image)
def midpoint((x1, y1), (x2, y2)):
return ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
MAX_LEVEL = 5
def draw_curve(P1, P2, P3, P4, level=1):
if level == MAX_LEVEL:
d.line((P1, P4))
else:
L1 = P1
L2 = midpoint(P1, P2)
H = midpoint(P2, P3)
R3 = midpoint(P3, P4)
R4 = P4
L3 = midpoint(L2, H)
R2 = midpoint(R3, H)
L4 = midpoint(L3, R2)
R1 = L4
draw_curve(L1, L2, L3, L4, level+1)
draw_curve(R1, R2, R3, R4, level+1)
draw_curve((10,10),(100,100),(100,10),(100,100))
image.save(r"c:\DeCasteljau.png", "PNG")
print "ok."
参考
- Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3
参看