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数系

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在数学,数系指的是的不同集合

数系的例子包括:自然数整数有理数无理数复数等。

数系的逻辑

自然数

皮亚诺〔Giuseppe Peano〕替自然数建立以下的定义:

  1. 自然数中有0
  2. 每一个自然数都必须有下一个自然数,并以S(a)表示。
  3. 自然数0前没有自然数。
  4. 不同的自然数的下一个自然数都不同,即a=b即代表S(a)=S(b),相反亦成立。
  5. 若一个特性0拥有,而往后的自然数都拥有,这特性则视为自然数拥有。

根据皮亚诺公理这五个定义,所有自然数的特性皆可推断。而数则以1=S(0)表示。

数系皆拥有等价关系,即:

  1. 自反性:
  2. 对称性:
  3. 传递性:

定义下自然数可进行运算,以下为加法的定义:

a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)

〔这暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1,所以以下S(x)皆会写成x + 1〕

以下为乘法的定义:

a × 0 = 0
a × (b + 1) = a × b + a

a × b亦可写成ab或是ab

以下为指数的定义:

a0 = 1
ab + 1 = ab × a

ab亦会写成a ^ b或是a ** b,特别是当上标不可使用的时候〕

整数

自然数可以以下方式扩展成整数,每一个非零的自然数a,就会出现一个整数-a,而它不是一个自然数。特别情形-0则定义为自然数0。后续函数亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法则扩展至整数。

加法将以以下方法定义:

  • ab皆自然数,则-a + -b = -(a + b)。
  • a为整数,则a + 0 = a
  • b为一非零整数,则a + b = (a - 1) + S(b)。

减法定义与加法相同,即a - b = a + - b

乘法定义与自然数定义相同,但加入负负得正,负正得负的理念:

  • ab皆自然数,则a × -b = -a × b = -(ab)
  • ab皆自然数,则-a × -b = a × b = ab

有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称,是整数和分数的集合。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。

在实数范围内有理数和无理数都有无穷多个,两者似乎是“同样多”的。但从高等数学里的“测度论”的角度来理解的话,无理数的测度要大于有理数的测度,所以无理数要比有理数“多一些”。如:根据测度论,在闭区间[0,1]内,有理数的测度为0,而无理数的测度为1。所以,在闭区间[0,1]内,无理数的个数要“远多于”有理数的个数。

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。四种常见的无理数有无限不循环小数、含有π的数、开方开不尽的数、某些三角函数值。

判断一个数是不是无理数,关键就看它能不能写出无限不循环小数。

常见的无理数类型有如下几种。

1.无限不循环小数:如圆周率π、自然对数的底数e等。 2.根式中开方开不尽的数:如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

【注】

  1. 两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)仍是有理数。
  2. 两个无理数的和、差、积、商可以是有理数,也可以是无理数。
  • * # (1)无理数的和、差、积、商为有理数:如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。
  • * # (2)无理数的和、差、积、商为无理数:π+e、π-e、πxe,π/e。

若某复数a+bi中的b若等于0,此复数就为实数。

若某复数a+bi中的b不等于0,就为虚数。 此外,若a+bi中的a等于0,就为纯虚数

备注

参考资料

参见