矢 (几何)

圆弧的矢、弦和半径

圆弧的矢（sagitta，有时缩写成sag）或弓形高是指该圆弧对应的弦之中点到弧之中点的距离。 在建筑学中，矢广泛用于计算跨越一定高度和距离所需的弧度，并且在光学中用于评估球面镜或透镜的厚度。矢的英文sagitta来自拉丁文sagitta意思是“箭”。

三角函数的正矢函数正是得名于矢，在割圆八线中，矢对应到正矢。

矢与弓形高是相似的概念，差别仅在矢专指一个弧中点到弧两端连线之中点的那条线，而弓形高是弓形的高。矢与弧相关，而弓形高与弓形相关。

公式

在下列等式中，$s$代表矢（弓形高），$r$为圆的半径，$l$为圆弧两端点的距离，也就是弦长。其中半弦${\tfrac {1}{2}}l$和弓心距$r-s$正好是直角三角形的两条边，半径$r$刚好是其斜边，根据勾股定理则有：

$r^{2}=\left({\tfrac {1}{2}}l\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.$

由此可以推导出矢$s$、弦$l$和半径$r$的关系式：

${\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {1}{4}}l^{2}}},\\[10mu]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+{\tfrac {1}{4}}l^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}$

矢也可以透过正矢函数来计算出来。若圆弧对应的圆心角为Δ，令Δ = 2θ，则矢为：

$s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$

近似值

当矢相对于半径很小时，可以使用以下公式来近似计算：

$s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.$

或者，如果矢长（弓形高）很小，且已知矢长、半径和弦长，则可以透过以下公式来估计计弧长：

$a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},$

其中，a是弧长。这个公式为中国数学家沈括所知，两个世纪后，郭守敬提出了一个更准确的公式。

参见

• 弦 (几何)
• 弧
• 弓形