此条目介绍的是数学集合论中的序数。关于物理学中的 ε
0,请见“
真空电容率”。
艾普塞朗数ε乃是数学集合论中一系列的超限序数,其为指数映射的某些固定点。因此,它并不能透过较小序数有限次数的加法及乘法运算而获得。康托尔原来引进的艾普塞朗数,乃以以下的方式定义:-
ε乃是一个满足以下式的序数,当中ω乃是最小的无限序数。
![{\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3139f7ee752b77f589948eee23be6f49f9759d01)
满足上式的所有ε当中,最小的记为ε0。它可以透过以下的超限递归法获得:-
![{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf299b77978d2c51140c0a66c60d91d04e11de9)
其后如此类推,
![{\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{\alpha },\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }},\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }}},\dots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e603aa536251a0862f152d70e212caeb3f077fb0)
更大的艾普塞朗数为
。值得留意的是,ε0的基数,仍然为可数的。实际上,所有指标为可数的ε,其基数也是可数的。不可数的ε(意指满足定义式
的ε)存在,但其指标也是不可数的。
参考条目