莫尔斯–帕莱引理

数学中，莫尔斯–帕莱引理（Morse–Palais lemma）是变分法与希尔伯特空间理论中的一个结果。粗略地讲，它指出临界点附近足够光滑的函数在适当改变坐标后可表为二次型。 莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家马斯顿·莫尔斯利用格拉姆-施密特正交化在有限维情形证明的。这一结论在莫尔斯理论中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于理查德·帕莱和斯蒂芬·斯梅尔。

陈述

令$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$为实希尔伯特空间，并令U是H中原点的开邻域。令$f:U\to \mathbb {R}$是$(k+2)$-次连续可微函数，其中$k\geq 1$，即$f\in C^{k+2}(U;\mathbb {R} )$。设$f(0)=0$，0是f的非退化临界点，即二阶导$D^{2}f(0)$确定了H与其连续对偶空间$H^{*}$的同构 $$H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.$$

则在U中存在0的子邻域V、微分同胚映射$\varphi :V\to V$（$C^{k}$，逆也是$C^{k}$）、可逆对称算子$A:H\to H$使得 $$f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle \quad \forall x\in V.$$

推论

令$f:U\to \mathbb {R}$是$f\in C^{k+2}$，使得0是非退化临界点。则存在逆为$C^{k}$的$C^{k}$微分同胚映射$\psi :V\to V$、正交分解 $$H=G\oplus G^{\perp },$$ 使得若有 $$\psi (x)=y+z\quad {\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },$$ 则 $$f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.$$

另见

• 弗雷歇导数

参考文献

• Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc. 1972.