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虚圆点

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虚圆点(circular points at infinity)也称为圆点,是射影几何中的名词,是指在复射影平面上二个特殊的无穷远点,也是每一个实数的复化后都会包括的点,其齐次坐标为 (1, i, 0) 及 (1, −i, 0)。

座标

复射影平面下的点可以用齐次坐标来表示,由复数组成的三元组(x : y : z)(其中xyz不全为0),若一个三元组乘以一个非零系数后和另一个三元组相等,二个三元组表示平面中的同一个点。在齐次坐标下,无穷远处的点可以用z座标为0来表示。虚圆点的二个座标一般会表示为以下的齐次坐标

(1 : i : 0)(1 : −i : 0)

复化的圆

实数的圆,其中心点为x0,y0,直径r(这三个数都是实数)可以描述为以下方程式解的集合

若转换为齐次方程,且考虑所有复数的解,即得到复化的圆。虚圆点是所有复化的圆的交点。这二个点满足以下的齐次方程式

方程式中若所有的系数都是实数,此即为一般圆(在实射影平面)下的方程。若任一代数曲线通过上述两点,即称为圆代数曲线英语Circular algebraic curve