质量通量(mass flux)是指单位时间内通过单位面积的质量,常用j、J、φ或Φ 表示,有时会加下标m表示是针对质量的通量。其国际标准制单位为kg s-1 m-2。
定义
质量通量可以用以下的极限来定义:
![{\displaystyle j_{m}=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I_{m}}{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e61faa829b4acab2b1c4a3664b770173270733)
其中
![{\displaystyle I_{m}=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaec9fdc1e8c63faabdf032a64f8c7a5eac03dd9)
是单位时间的质量,而A是质量所通过的截面积。
若要计算向量形式的质量通量jm,需要计算从时间t1到t2之间通过表面S的曲面积分,可以得到在时间(t2 − t1)内通过表面的总质量:
![{\displaystyle m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680415b1ed4f9403233802ab718946d1c0f61784)
要计算的面积可能是平坦或是弯曲的,也可能是一个曲面或是一截面积。例如考虑流过管路内的流体,则其面积就是指定区域的截面积。
向量面积是由面积大小A和面积的单位法向量
组合而成的物理量,其关系是
。
若质量通量jm和截面积的法向量
有θ度的夹角,则
![{\displaystyle \mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a43fb7a3623cdd46be4a7ee934bc95269655e4a)
其中·为向量的内积,因此通过截面积的质量通量为jm cos θ,而沿着截面积切线的质量通量为jm sin θ,但这部分的分量没有通过截面积。
流体方程
替代方程
配合向量的定义,质量通量也可以表示为下式[1]:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f399926fc3986836e8e6f8aa82d5839f65b84b)
其中:
有时可以用此方程来定义向量形式的质量通量。
混合流体的质量通量及莫耳通量
若流体是多种物质的混合物,需依混合物中的各个成分个别计算质量通量。
若流体中只有一种物质,适合用质量通量来表示,但若流体中包括许多不同的粒子,此时比较适合用另一个类似的物理量来描述,称为莫耳通量。
质量通量
若使用质量通量,成分i的质量通量为:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9b6002102b536d8d28435d2eea2dc68e2a1535)
成分i的质心质量通量(barycentric mass flux)为:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8293119ae2e03b1e5ef0196e6ea3f5af64da4f)
其中
为混合物中所有成分的平均质量流速(mass velocity),可以用下式计算:
![{\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b37bb140e6e974fb8e86e6cf0a58279559c83f7)
其中:
- ρ为混合物的平均密度
- ρi为成分i的密度
- u i为成分i的速度
平均速度是依所有成分依密度加权来计算平均。
莫耳通量
若将上式的密度ρ改为莫耳数n,则可计算莫耳通量。
莫耳通量是单位时间通过单位体积的莫耳数:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=n\mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747253007f47b01c257ea26acce398911234cb30)
因此成分i的莫耳通量(单位时间通过单位体积的莫耳数)为:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n_{i}\mathbf {u} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cfa54819784d91b0ac8e2ef752387c612ed941)
成分i的质心莫耳通量(barycentric molar flux)为:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f036b1f1cd0080a136606e7b100743840d39b2a7)
此时
则是混合物中所有成分的莫耳速度(molar velocity):
![{\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}n_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02294ebb2b741f582d0242bb770d8d34b1f1d474)
用法
在流体动力学的连续方程式中会用到质量通量:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ff0a09757dbb4db6b5dd5acb024949955381e4)
上述方程式表示流体的质量守恒,流体只能从一处流到另一处。
莫耳通量则出现在有关扩散作用的菲克第一定律中:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be0a5804c64d4b3184dad8e957b60e34144ddf0)
其中D为扩散系数,c为物质的浓度。
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参考资料
- ^ Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluid Mechanics, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN(10) 0-486-66110-5