佩服数
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在数论中,佩服数(英文:Admirable numbers),是指若一个正整数除了本身外之所有的因数[注 1],存在一个因数,将其他不是本身、不是的因数相加后,再减掉,若等于本身,我们就称它为“佩服数”。换句话说佩服数是计算一数的因数和,但其中一个因数是以相反数和其他因数相加,得到的值是自己本身的数。有这种性质的数虽未如完全数一般的完美,但仍被形容为“令人敬佩的”[1]。
所有大于3的质数的6倍都是佩服数[1][注 2],因此佩服数有无穷多个。
定义
一个正整数除了本身外之所有因数,存在一个因数,将其他不是本身、不是的因数相加后,再减掉,若等于本身,我们就称它为佩服数。
例如12的因数有1、2、3、4、6、12。其中存在一个因数2,使得[2],同时,12也是最小的佩服数[1]。
更为严格地说,佩服数是指使得公式成立的正整数,其中σ指的是因数和函数,即的所有正因数(包括其本身n)之和。是n的其中一个因数。
例如20的因数有1、2、4、5、10、20,其因数和函数的结果为,存在一个因数1,使得,所以20可称为佩服数。
佩服数是过剩数的一个子集,换句话说所有佩服数都是过剩数[3]。
例子
最小的一些佩服数是:
- 12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……(OEIS数列A111592)
以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数是945[4],同时最小的奇过剩数、奇半完全数[5]也是945。
前几个奇佩服数是:
- 945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……(OEIS数列A109729)
连续的佩服数[注 3]比连续的过剩数还要少。在1012以下,只有两组连续佩服数,分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)[1]。
佩服数的分布并不像过剩数那样,过剩数有著非零的自然密度[6],而佩服数的成长率非线性的,例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个(OEIS数列A109727),其密度随著数字尺度变大而逐渐减少。
所有大于3的质数的六倍都是佩服数[1][注 2],更精确地说,所有的质数与质因数不含该质数之完全数的乘积都是佩服数[注 4]。
相关的数列
盈完全数
有一种与佩服数类似但不太一样的定义:一个正整数除了本身外之所有因数中,存在一个因数,将其他不是本身的因数相加后,再减掉,等于本身。有这些性质的前几个数有:
例如18的因数有1、2、3、6、9、18有一个因数3,使得。
有这种性质的数最小的奇数是173369889[7],同时也是最小的奇拟完全数(OEIS数列A181595)[8],但不是佩服数。
特别的,这些数字正好与盈完全数(Abundant-perfect numbers)重叠,盈完全数的定义为:自己的因数和(不包含自己)减去自己得到的数可以整除自己。
符合这种定义的数未必是佩服数,例如18虽然符合这种定义,但并未符合佩服数的定义[9],因此18不是佩服数[注 5]。
相容数
萨克斯参考了亲和数的定义,定义了一个新的数叫做相容数(compatible numbers),其定义为有一对数字N和M,分别各存在一个因数dN和dM,N将其他不是本身、不是dN的因数相加后,再减掉dN,得到M、而M将其他不是本身、不是dM的因数相加后,再减掉dM,得到N。
例如30和40[9]:
- 30:2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40
- 40:1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30
前几对相容数是:
- (24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……(OEIS数列A109797)和(OEIS数列A109798)
亏完全数
有一种与佩服数类似但相反的定义:若一个正整数除了本身外之所有因数,存在一个因数d',将其他不是本身的因数相加后,再加上d',等于本身。有这些性质的前几个数有:
- 2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……[注 6]
特别的,这些数字正好与亏完全数(Deficient-perfect numbers)重叠,亏完全数的定义为:自己减去自己的因数和(不包含自己)得到的数可以整除自己[10][11],在这个定义中1也符合,因为1不含自己的因数和是0,1减去零是1,当然可以整除1。
最小的几个亏完全数是:
所有二的乘幂都是亏完全数[注 7],除了二的乘幂之外的亏完全数有:
楚姆克勒数
楚姆克勒数(Zumkeller numbers)是指因数可以分为相同总和的两组数字。例如48的因数可以分为两组:{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48},其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48,因此48是一个楚姆克勒数[13]。
所有佩服数都是楚姆克勒数,因为佩服数中的相减因数(即其他因数和减去此因数会等于本身的那个因数)以外的因数存在一个因数,其与佩服数中的相减因数相加后会等于其他因数之和。
前几个楚姆克勒数是:
- 6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……(OEIS数列A083207)
参见
注释
- ^ 为方便说明,本条目中的“因数”一律指正因数。
- ^ 2.0 2.1 假设p是一个大于3的质数,则6p可因数分解为,因此6p共有8个因数,分别为:1、2、3、6、p、2p、3p、6p,当中存在一个因数6,使得本身,因此对所有大于3的质数,都是佩服数
- ^ 指两个相邻的整数都是佩服数的情况
- ^ 假设p是一个大于3的质数、q是一个完全数,则的因数包含所有q的因数和所有q与p的乘积,已知q的因数和为2q,因此的所有正因数和为,不含本身的因数和为为,因此当中存在一个因数q使得其不包括q的因数和减去q等于本身,因此对所有大于3的质数p,都是佩服数
- ^ 18的因数有1,2,3,6,9,18,假设d'为1,得,非18;假设d'为2,得,非18;假设d'为3,得,非18;假设d'为6,得,非18;假设d'为9,得,非18;假设d'为18,得,非18。因此18不存在因数d',将其他不是本身、不是d'的因数相加后,再减掉d',能等于本身,因此18不是佩服数[9]
- ^ 该数列未被整数数列线上大全收录。
- ^ 二的乘幂的因数基本上是低于该数的所有二的乘幂,例如64的因数为1、2、4、8、16、32、64,为小于等于64的所有二的乘幂,因此根据二的乘幂级数的性质[12],将不是本身的因数相加相当于从1到乘幂少1的二乘幂级数之和因此必等于本身减一,而1为所有自然数的因数,因此二的乘幂必定会是亏完全数。
参考文献
- J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. (原始内容存档于2017-06-03).
- ^ J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. (原始内容存档于2019-08-12).
- ^ Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. (原始内容存档于2022-05-11).
All admirable numbers are abundant
- ^ 佩服數列表. 整数数列线上大全. [2011-07-13]. (原始内容存档于2021-02-26).
- ^ Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75
- ^ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
- ^ Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整数数列线上大全. [2016-08-30]. (原始内容存档于2021-11-21).
- ^ V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-09).
- ^ 9.0 9.1 9.2 T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. (原始内容存档于2010年11月30日).
- ^ M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
- ^ M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
- ^ The sum of the powers of two from 20 up to 2(n - 1) is (2^n) - 1. c2.com. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-09-18).
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
外部链接
- Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
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