优环

在交换代数中，尤其在代数几何的应用中，优环（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一类性质与完备局部环相近的交换诺特环。这类环首先由亚历山大·格罗滕迪克定义。

代数几何与数论中出现的诺特环通常都是优环，此外优环也与奇点消解相关；广中平祐在1964年证明了特征为零时的奇点消解定理。

定义

以下所论之环皆假定为么交换环。

一个包含域 $k$ 的环 $R$ 被称作在 $k$ 上是几何正则的，若且唯若对任何有限扩张 $k'/k$ ，环 $R\otimes _{k}k'$ 都是正则的。
一个环同态 $\phi :R\rightarrow S$ 被称作是正则的，若且唯若它是平坦的，且对任何 ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)$ 其纤维 $S\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ 在剩馀域 $k({\mathfrak {p}})$ 上几何正则。
一个环 $R$ 被称作 G-环（或格罗滕迪克环），若且唯若它是诺特环，且所有的形式纤维都是几何正则的；第二个条件意谓：对任何 ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)$ ，环同态

R_{\mathfrak {p}}\rightarrow {\widehat {R_{\mathfrak {p}}}}

是正则的。

一个环 $R$ 被称作是拟优环，若且唯若它是个 G-环，且对任意有限生成的 $R$ -代数 $S$ ， $\mathrm {Spec} (S)$ 的奇点集是闭的。
一个优环是一个泛链的拟优环。

实际应用中的诺特环几乎都是泛链的，因此拟优环与优环几无差别。

若一个局部诺特概形 $X$ 上有开覆盖 $U_{i}$ ，使得每个 $U_{i}$ 都是优环的谱，则称 $X$ 为优概形。

优环的例子

完备局部诺特环，包括域。
特征为零的戴德金环，包括整数环 $\mathbb {Z}$ 。
$\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上的收敛幂级数环。
优环的局部化仍为优环。
优环上的有限生成代数仍为优环。

以下将给出一个特征 $p>0$ 的一维局部正则环而非优环的例子。设 $k$ 是一个特征 p 的域， $[k:k^{p}]=\infty$ ，令 $R:=k[[X]]$ ，更令

A:=\{\sum _{a_{i}}X^{i}\in R:[k^{p}(a_{1},\cdots ):k^{p}]<\infty \}

则 $A$ 有非几何正则的的形式纤维，故非优环。

凡拟优环皆为永田雅宜环。

优概形与拟优概形

如果一个概形 $X$ 有仿射开覆盖 $X=\bigcup U_{\alpha }$ ，使得每个 $U_{\alpha }$ 都是优环的谱，则称 $X$ 为优概形。此条件一旦对某个仿射开覆盖满足，则被所有仿射开覆盖满足。

拟优概形的定义类此。

奇点解消

拟优环与奇点解消问题关系密切，这似乎也是格罗滕迪克定义拟优环的动机。格罗滕迪克在 1965 年观察到：若能在所有完备的局部诺特整环中消解奇点，则在所有既约的拟优环中亦然。广中平祐在1964年证明了：特征为零时，完备局部诺特整环中皆可消解奇点。因此在特征为零的域上，凡优环皆可消解奇点。反之，若能在诺特环 $R$ 上的所有有限生成整代数上消解奇点，则 $R$ 是拟优环。

文献

V.I. Danilov, Excellent ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.