在数学的群论中,一个群G的全形Hol(G)是一个特定的群,同时包含群G和其自同构群Aut(G)。群的全形可用半直积或交换群来描述。
以半直积描述
记群G的自同构群为Aut(G),则G的全形Hol(G)是
![{\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91fd4bf256bcf008d5ab1e1da49ae8eec11ffa5)
其中的外半直积是对于Aut(G)在G上的自然作用,因此全形上的运算如下:令
为Hol(G)的元,其中g, h是G的元,
是G的自同构,则
。
以交换群描述
群G以左乘和右乘作用在自身的元素上,定义出两个从G到G上的对称群Sym(G)的群同态。左乘对应的群同态为
,
;
右乘对应的群同态为
,
。
这两个群同态称为G的左及右正规表示,并且都是单射(凯莱定理)。换言之,G同构于
和
。G的全形
是
在
中的正规化子。
参考
- Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215