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八格骨牌

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八格骨牌(Octomino),又称八连块,是一种多格骨牌,每块以全等正方形连成,镜射旋转视作同一种共有三百六十九种。

所有的八格骨牌

八格骨牌是最小的骨牌格数,所有的八种可能的对称形式都至少各有一个n格骨牌,下一个这样的骨牌格数是十二格骨牌,而十二格骨牌也是最小的骨牌格数,所有的八种可能的对称形式都至少各有一个中间没有洞的n格骨牌。

  1. 两条平行于格线的对称轴,跟两条与格线夹45度的对称轴,以及90度中心对称点,共有1种(蓝绿色)。
  2. 两条平行于格线的对称轴,以及180度中心对称点,共有4种(紫色)。
  3. 两条与格线夹45度的对称轴,以及180度中心对称点,共有1种(橘色)。
  4. 一条平行于格线的对称轴,共有23种(红色)。
  5. 一条与格线夹45度的对称轴,共有5种(绿色)。
  6. 90度中心对称点,共有1种(黄色)。
  7. 180度中心对称点,共有18种(蓝色)。
  8. 无任何对称性(包含对称轴与对称点),共有316种(灰色)。

平面填充

所有369种八格骨牌中,有320种满足康威准则,因此都可以只用同一种八格骨牌,来填满整个平面,而另外49种八格骨牌中,有23种可以只用同一种八格骨牌拼成一个满足康威准则的东西,所以也可以只用该种八格骨牌来填满整个平面,因此,在全部369种八格骨牌中,总共有343种可以只用同一种八格骨牌来填满整个平面,[1]而有26种(包括中间有洞的那6种)不能只用同一种八格骨牌来填满整个平面。[2]

虽然全部的八格骨牌一共有2952格,但是并没有办法把它们拼成长方形,尽管它们符合肢解西洋棋盘问题的条件(有233种八格骨牌有偶数个黑格子跟偶数个白格子,而有136种八格骨牌有奇数个黑格子跟奇数个白格子,黑格子跟白格子的总数都是偶数,而有2952格的长方形都有1476(偶数)个黑格子跟1476(偶数)个白格子,因此可能可以排出来,与四格骨牌六格骨牌的情形不同),但是因为有6个八格骨牌中间有洞,所以八格骨牌不管怎么排,中间一定都至少会有6个洞,但是当然长方形并没有洞,所以不可能排得出来。 然而,全部369块八格骨牌能拼成边长分别为3,4,5,7,8,9,11,12,12,13,13,15,16,17,19,20,21的17个正方形,其中奇数边长的正方形中心有一格洞。[3]

参考资料

  1. ^ Rhoads, Glenn C. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005, 174 (2): 329–353. doi:10.1016/j.cam.2004.05.002可免费查阅. 
  2. ^ Gardner, Martin. More about tiling the plane: the possibilities of polyominoes, polyiamonds and polyhexes. Scientific American. August 1975, 233 (2): 112–115. 
  3. ^ 存档副本. [2024-02-12]. (原始内容存档于2023-12-17).