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包络线

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建立曲线族的包络线。

包络线(Envelope)是几何学里的概念,代表一条曲线与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切。(曲线族即一些曲线的无穷集,它们有一些特定的关系。)

设一个曲线族的每条曲线可表示为,其中是曲线族的参数是特定曲线的参数。若包络线存在,它是由得出,其中以以下的方程求得:

若曲线族以隐函数形式 表示,其包络线的隐方程,便是求下面两个方程的解x和y之隐函数关系。

绣曲线是包络线的例子。直线族(其中是常数,是直线族的变数)的包络线为抛物线[1]页面存档备份,存于互联网档案馆

证明

设曲线族的每条曲线

设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切,对于任意的,设表示和包络线相切的那点。由此式可见,是包络线的变数。要求出包络线,就即要求出

的切向量为,其中

在E的切向量为。因为的函数,而此处局部求导有:

类似地得

因为在该点相切,因此其切向量应平行,故有

其中。可用此两式消去。整理后得:

参考

参见

外部链接