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半单模

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模论中,一个 上的左 若可表为单模的直和,便称 半单模

本条目中的环皆有乘法单位元素 。对于右模,相应的陈述依然成立。

等价定义

以下陈述彼此等价:

  • 是单模的和。
  • 是其单子模的和。
  • 对每个子模 ,存在子模 使得

性质

  • 是半单模,则其子模与商模亦然。
  • 是半单模,则 亦然。

半单环

借由环的乘法运算,每个环 都可视为左(或右) -模。若 是半单 -模,则称 半单环。可以证明:环 是半单左模若且唯若它是半单右模。半单环必然兼为诺特环阿廷环

半单环的角色之一,在于半单环 上的模都是半单模,而且任何单左模都可嵌入 中,成为其极小左理想。这遂大大便利了对 -模结构的研究。

对于非交换环,单环未必是半单环,尽管术语上引人如此联想。

例子

  • 有限群,则群代数 半单的充要条件是 的特征不整除 。此结果是有限群表示理论的基石。
  • Artin-Wedderburn 定理给出了半单环的结构:一个环 半单若且唯若它同构于 ,其中每个 皆为除环 表示 上的 矩阵代数。
  • 为域 上之有限维向量空间。则 多项式环 上的左模,结构由 给出。此时 半单的充要条件是 代数闭包 可对角化

文献

  • N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
  • R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
  • T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.