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单环

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环论中,若某非无零因子环除了零理想英语Zero ideal及其本身两个理想外没有其他双边理想,则称该环为单环。特别地,交换环是单环当且仅当它是一个

单环的中心必是一个域,所以单环是该域上的一个结合代数。因此,单代数和单环是相同的概念。

此外,一些参考文献(例如Lang(2002)或Bourbaki(2012))还要求该环是左阿廷环或右阿廷环(即半单环)。在这种术语下,没有非平凡双边理想的非无零因子环被称为准单环(quasi-simple)。

存在在自身上不是单模的单环,即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想:例如域上的全矩阵环,它没有非平凡理想(因为的任何理想都具有的形式,其中的理想),但却有非平凡的左理想(例如,某些固定列为零的矩阵组成的集合)。

根据阿廷-韦德伯恩定理,所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地,如果一个单环是实数域上的有限维度向量空间,则它必然与实数域、复数域或四元数域上的矩阵环同构。

单环,但非除环上的矩阵环的一个例子是外尔代数英语Weyl algebra

特征

如果一个环不包含非平凡的双边理想,则它是一个单代数。

单代数的直接示例是除法代数,其中每个非零元素都有一个乘法逆,比如四元数的实代数。此外,可以证明在除环中有元n  ×  n矩阵的代数是单代数。实际上,它可以描述所有有限维度的单代数,直到同构为止。换言之,在其中心上的任何有限维度单代数与某个除法环上的矩阵代数英语Matrix algebra同构。1907年,约瑟夫·韦德伯恩在其博士学位论文《论超复数》中证明这一件事。该论文出现于伦敦数学学会论文集里。韦德伯恩在其论文中分类了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块:在代数的意义上,任何有限维度的半单代数都是单代数的笛卡尔积。

后来阿廷-韦德伯恩定理将韦德伯恩的结果广义化到半单环。

例子

R为实数域,C为复数域,H为四元数域。

韦德伯恩定理

韦德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的环的特征(左阿廷环的条件是第二条假设的广义化)。也就是说,所有此类的环都是除环上的n × n矩阵,直至同构为止。

D为一个除环,Mn(D)D上有元矩阵的环。因此,可以证明Mn(D)中的所有左理想都用以下形式出现:

{M ∈ Mn(D) | M的第 n1, ..., nk行没有元},

对于某个固定{n1, ..., nk} ⊆ {1, ..., n}。因此,Mn(D)中最小理想的格式为

{M ∈ Mn(D) | 除第k行外其馀所有行都没有元},

对于某个给定的k。换言之,如果I是一个最小左理想,则I = Mn(D)e,其中e是一个幂等矩阵,在(k, k)元为1,在所有其他地方为0。此外,DeMn(D)e同构。左理想I可以视作eMn(D)e上的右模。环Mn(D)与该模上同胚的代数同构。

以上例子引出了下列引理:

引理:A是一个单位为1,幂等元素为e的环,其中AeA = A。设I为左理想Ae,视作一个eAe上的右模。则AI上同胚的代数同构,以Hom(I)表示。

证明:我们使用Φ(a)m = am定义“左规则表示”为Φ : AHom(I),对于mI。Φ是单射的,因为如果aI = aAe = 0,则aA = aAeA = 0,暗示a = a ⋅ 1 = 0

对于满射,设THom(I)。由于AeA = A,元素1可以表达成1 = Σaiebi。因此

T(m) = T(1 ⋅ m) = Taiebim) = Σ T(aieebim) = Σ T(aie) ebim = [ΣT(aie)ebi]m.

由于表达式[ΣT(aie)ebi]不取决于m,Φ是满射的。引理证毕。

从以上引理可以得出韦德伯恩定理。

定理韦德伯恩如果A是一个有单位1和最小左理想I的环,则A与除环上n × n矩阵的环同构。

证明eAe是一个除环,只需验证引理的假设,即求一个幂等元素e使得I = Ae。表明A是单环后可以得出A = AeA这个假设。

参考文献

  • A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
  • Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
  • Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
  • Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
  • Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
  • Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5