单态射

在范畴论里，一个态射被称之为单态射，则该态射为一具左消去律的态射。亦即，给定一单态射f : X → Y，则对所有的态射g₁, g₂ : Z → X，均能使得

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

单态射是单射函数（或称为一对一函数）在范畤论里的延伸。单态射的对偶概念为满态射，后者为满射函数的延伸。一态射于范畴C 里为单态射，则该态射于对偶范畴C^op 里为满态射。

性质

• 具左反元素的态射必为一单态射。因为，如一态射f 具有一左反元素l（即l 为一态射，且$l\circ f=\operatorname {id} _{X}$），则可知

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

• 不是每一个单态射都会有左反元素。举例来说，在由所有群所组成的范畴Group里，如H 是G 的子群，则其包含映射f : H → G 总会是个单态射；但f 于该范畴里具有一左反元素，若且唯若H 在G 里有一正规补群。

• 如态射f 的左反元素为一态射l，则态射f 为态射l 的右反元素，并称f 为l 的截面，l 为f 的收缩。每个截面都会是个单态射，且每个收缩都会是个满态射。

• 一态射f : X → Y 为单态射，若且唯若对所有的Z，定义一个映射f_∗ : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y)， 使得对所有的态射h : Z → X，f_∗(h) = f ∘ h，则其映射必为单射。

• 在具体范畴里，每个为单射函数的态射均为单态射；换句话说，当态射实际上为集合间的函数时，一态射如为一对一函数，则该态射必为单态射。

• 在集合范畴里，每个单态射也会是个单射态射。该叙述在大多数可于代数里自然产生的范畴里也都成立，如在由所有群组成的范畴、由所有环组成的范畴，及所有的阿贝尔范畴里，每个单态射都会是个单射态射。

• 不是在所有的具体范畴里，每个单态射都会是个单射态射。举例来说，在由可除交换群所组成的范畴里，其中即存在著为单态射，但不为单射态射的群同态，如商映射q : Q → Q/Z（其中的Q 为由有理数在加法运算下所组成的群，Z 为由整数在加法运算下所组成的群，且Q/Z 为其商群)不是单射（因为每个整数都会映射至0），但为单态射。

另见

• 嵌入 (数学)
• 子对象

参考资料

• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
• Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
• Hazewinkel, Michiel (编), Monomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Jaap van Oosten, Basic Category Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）