对数积分
是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中,在数论中也有重要性,主要出现在与质数定理与黎曼猜想的相关理论之中。
对数积分
积分表示法
对数积分有一个积分的表示法,对所有的正实数
都有定义:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f4dc145cfd7baa021168766d0d918dd7d62157)
在这里,ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点,当x > 1时,这个积分只能用柯西主值的概念来解释:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2307434060b2ae671cc6bcac7cdaf4dd3f405)
特殊值与欧拉对数积分
由于这个积分在x趋近于1时,值会趋近于负无穷大,有些数学家为了避免麻烦,常会选择另外一个相似的定义,欧拉对数积分定义为:
![{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f682dbd8ec25eef9d1ab14ba520c6d699bf687db)
或
![{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b285c4d90d82f798610c438fb15bc5dd7e9b07)
函数li(x)有一个正根,它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。
![{\displaystyle \operatorname {li} (2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )\sim 1.045163780117492784844588889194613136522615578151}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dacd6a33908a91141b44d6f571d4fd55eff856)
其中
是不完全伽玛函数。
级数表示法
函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系:
![{\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d96eb6caf7850cc98e5b68a3f528bd8155487d0)
其中
。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法:
![{\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{for }}u\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedc556c35bd27fc3bce6e8c827deb722f823c22)
其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数,是:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\;2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d967264b208112d0721815cc424bc774fc5d3636)
渐近展开式
当x → ∞,函数有以下的渐进表现:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad555acb9dfc10864fe2620ca5995249fcc3916)
其中
是大O符号。完整的渐近展开式为:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3564f122ef9cbf993d9e8b21d32e4676eb4d80e)
或
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781926b17d018b88cf02e9776d95332f47dc292b)
注意,作为渐近展开式,这个级数是发散的:只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。
数论中的重要性
对数积分在数论中十分重要,出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如,质数定理表明:
![{\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cee86504328d29f4afbaa9207ac6266b715c9f)
其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。
参见
参考文献