在数学里,库默尔定理能计算给出的二项式的系数的p-adic赋值,即
含p的幂次。 本定理以恩斯特·库默尔命名。
定理
库默尔定理指出,给定整数
和一个质数
, p-adic赋值
等于以
为基底时
加
的进位次数。
例子
要计算
,写出
和
的二进制表示
和
。进行二进制加法
需要进位三次。 故
中 2 的次数是 3。
求具有下述性质的所有整数
:存在无穷多个正整数
,使得
不整除
。[1]
解 ∵
,
∴
是整数,
∴
对任意正整数
成立,从而 1 不满足要求.
当
时,取
(
为奇素数,
),满足要求.
当
时,取
的一个素因子
,选取正整数
使得
,令
,我们证明:
不整除
.
最多进位
次. 由库默尔定理,
,
∵
,∴
不整除
.
从而存在无穷多个
满足要求.
综上,
是任意不为1的整数.
证明
将组合数
写成
根据勒让德定理,它所含
的幂次数为
等于
在
进制表示下,截去末
位得到的数,因此
最后对
求和,就是
在
进制下的进位次数。
多项系数的一般化
库默尔定理,可以推广到 多项系数
:
将
以
为基底写做
和定义
是
基底的数位和。 则
.
参见
参考文献
- Kummer, Ernst. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.
[2]
- ^ 刘培杰; 张佳. 库默尔定理——从一道IMO预选题谈起. d.wanfangdata.com.cn. [2022-03-08]. doi:10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004. (原始内容存档于2022-06-12).
- ^ 存档副本. [2020-07-31]. (原始内容存档于2021-04-18).