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李氏括号

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向量场中的李括号,于微分拓朴的数学领域下,称为Jacobi–李括号向量场的交换子,是在一微分流形M中作用在任意两个向量场XY算子,此一算子作用后也会形成向量场,以[X, Y]标示。

李括号 [X, Y] 在概念上是沿著由X生成向量流英语Vector flowY微导,常写为 ("沿著 X 的Y 李微导")。这可以推广到沿著由X生成的流上任意张量场李导数

李括号是个R-双线性算子,且将所有在流形M光滑向量体转成(无限维)李代数

李括号在微分几何微分拓朴中相当重要,例如在作为非线性控制几何理论基础的弗罗贝尼乌斯定理中就可看到李括号[1]

定义

李括号有下列三种定义,这三种定义不同,但是等价:

作为微导的向量场

在一流形M上的所有平滑向量场X 可以视为作用在C(M)的平滑函数 微分算子。的确,每个向量场 X 可成为在C(M) 上的微分算子导子),因此可定义 X(f) 的函数,计算函数在方向X(p)上点pf方向导数,更进一步,于C(M)的任意微导都是源于唯一的平滑向量场X

一般来说,任意两微导 交换子 亦是微导,当中 为算子之组合。能用于定义关乎微导交换子向量场的李括号:

.

流与极限

为关乎向量场 X 及 D 表示切线图导数算子(tangent map derivative operator),那么在点xMXY 的李括号可以定义为 李导数

这也测量了连续方向的failure of the flow 至点 x:

以坐标表示

虽上述李括号的定义为内在的(和流形M上的座标选择无关),但在实务上常常会想计算特定坐标系下的李氏括号。可以令,为切线束的相关局部基底,使得对平滑函数而言,一般向量场能写成 。因此李括号可由以下方式计算:

MRn的某开子集,那么向量场XY 可以写成由平滑函数形式,且李括号 的表示式如下:

此处之 n×n 雅可比矩阵 乘上 1 栏向量 XY

性质

向量场的李括号等同于所有在M(也就是切线束的平滑截 ) 上实向量空间中的李代数的结构,表 [ • , • ] 为具以下性质之 的映射:

第二性质可马上推得对任意 ,会使具成立。

更进一步说,李括号具有“乘积法则” 。 给定一平滑 (纯量值) 函数 f 与在M上的向量场,由每点xM的纯量乘向量Yx后可以得到一个新的向量场fY ,如此:

此处用向量场Y乘上纯量函数 X(f) ,及向量场[X, Y]与纯量函数 f 如此引导出一具李括号的向量场至李代数

XY的李括号为零,表示在这些方向可以定义以XY作为座标向量场而内嵌入于M之曲面:

定理: 若且为若XY的流局部交换,此指对所有xM且足够小的s, t

而这为弗罗贝尼乌斯定理的特例。

应用

在证明控制仿射无漂系统(driftless affine control system)的小时间局部可控制性(small-time local controllability、STLC)时,李氏括号是其中重要的一部份。

总结

如上所述,李导数可被视为广义的李括号。其他可视为是(向量值微分形式)广义李括号的有弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号(Frölicher–Nijenhuis bracket)

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参考

  1. ^ Isaiah 2009,第20–21页, nonholonomic systems; Khalil 2002,第523–530页, feedback linearization.

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