极限 (范畴论)

在数学里的范畴论中，极限（英语：Limit）的概念融贯了多种构造，包括和、积等等；范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

极限分为极限与馀极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。在不同场合的别名及英译如下表：

馀极限/上极限（colimit）	正（向）极限（direct limit）	归纳极限（inductive limit）
极限（limit）	逆（向）极限（inverse limit）	投射极限/射影极限（projective limit）

本条目用语取归纳极限与射影极限。

定义

一范畴 C 中的极限及上极限可用 C 中的图示来定义。形式上，C 中类型 J 的图示是指一个由 J 映射至 C 的函子：

F : J → C.

范畴 J 称之为“索引范畴”，图示 F 可想做是以 J 索引 C 内的物件及态射。J 实际的物件及态射为何并不重要，关键在于之间的互动。

通常，最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时，此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

极限

设 F : J → C 为一个在范畴 C 中类型 J 的图示。一个对应于 F 的“锥体”是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 内之物件 X 索引的态射族 ψ_X : N → F(X)，使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 F(f) o ψ_X = ψ_Y。

图示 F : J → C 的极限是一个对应于 F 的锥体 (L, φ)，使得对所有其他对应于 F 之锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : N → L，使得对所有 J 中的 X，φ_X o u = ψ_X。

可以说，锥体 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成锥体 (L, φ)。此一态射 u 有时称为“中介态射”。

极限亦称之为“泛锥体”，因为其所具有之泛性质（详见下文）。如同每个泛性质一般，上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态：极限物件 L 够一般，能让所有其他锥体分解；另一方面，L 也必须够特殊，每个锥体都只可能有“一个”因子。

极限也可视为是在对应于 F 的锥体范畴内的终对象。

图示可能不存在极限；但若一个图示存在极限，则此一极限一定是唯一的：在同构下是唯一的。

上极限

极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转，以得到上极限及上锥体之定义，但下文仍将明确叙明之：

图示 F : J → C 的“上锥体是指 C 中的一物件 N，具有可以每个 J 中的物件 X 索引的态射族

ψ_X : F(X) → N

使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 ψ_Y o F(f)= ψ_X。

图示 F : J → C 的上极限是 F 的上锥体 (L, $\phi$ )，使得对所有其他对应于 F 的上锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : L → N，使得对所有 J 中的 X，u o $\phi$ _X = ψ_X。

上极限也称为“泛上锥体”，也可视为是在对应于 F 的上锥体范畴内的始对象。

如同极限一般，若图示 F 存在上极限，则此上极限在同构下是唯一的。

归纳系统与射影系统

以下固定一个范畴 ${\mathcal {C}}$ ，并探讨其中的极限。为避免集合的悖论，我们将固定一个宇宙 ${\mathcal {U}}$ ，并假定 ${\mathcal {C}}$ 是 ${\mathcal {U}}$ -范畴，即：对任意两个对象 $X,Y$ ，态射集 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 同构于 ${\mathcal {U}}$ 里的某个集合。 $\mathbf {Set}$ 表所有 ${\mathcal {U}}$ 里的集合构成的范畴。

设 $I$ 为对 ${\mathcal {U}}$ 的一个小范畴，所谓归纳系统（或称I-图）系指一个函子 $\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$ ，射影系统则指一函子 $\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ 。

形象地说，归纳系统不外是给定 ${\mathcal {C}}$ 中一族对象 $\{X_{i}:i\in I\}$ ，对每个态射 $i\rightarrow j$ 都有 ${\mathcal {C}}$ 中对应的态射 $X_{i}\rightarrow X_{j}$ ，且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向： $X_{i}\leftarrow X_{j}$ 。

固定一对象 $X\in {\mathcal {C}}$ ，对任意归纳系统α或射影系统β，可定义从 $I^{\mathrm {op} }$ 到 $\mathbf {Set}$ 的函子

\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)

\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))

我们将遵循可表函子的哲学，从集合的射影极限出发。暂设 ${\mathcal {C}}=\mathbf {Set}$ ， $\mathbf {Set}$ 上的归纳系统不外是 $I$ 上的预层。给定一个归纳系统β，定义：

\varprojlim \beta :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}

（注意：若

I

是空范畴，对应的射影极限是单元素集合。）

可手工验证下述自然同构：

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )

若干例子

始对象与终对象

令 $I$ 为空范畴，此时的归纳极限与射影极限（若存在）便分别满足泛性质

\forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1

这不外就是 ${\mathcal {C}}$ 里的始对象与终对象。

纤维积与纤维馀积

令 $I$ 为离散范畴（即：其间只有恒等态射），此时归纳及射影系统不外只是一族 ${\mathcal {C}}$ 的对象 $\{X_{i}:i\in I\}$ ，对应的归纳极限及射影极限称作馀积（又称上积）与积。

令 $I$ 为范畴 $\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet$ ；设 $\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$ 对应于 $Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}$ 。若其归纳极限存在，称之 $Y_{1},Y_{2}$ 对 $X$ 的纤维馀积，写作 $Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}$ 。

对偶地看，对于 $\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ ，对应于 $X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}$ ，若其射影极限存在，称之 $X_{1},X_{2}$ 对 $Y$ 的纤维积，写作 $X_{1}\times _{Y}X_{2}$ 。

纤维积与纤维馀积可视为“相对”版本的积与馀积。若存在终对象（或始对象），则积（或馀积）可视为对该对象的纤维积（或纤维馀积）。

核与上核

核（kernel）与馀核（cokernel，又译上核），有时也称等化子（equalizer）与馀等化子（coequalizer）。考虑对应到 $X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}$ 的归纳或射影系统，此时的归纳极限 $\mathrm {Coker} (f,g)$ 称作上核，射影极限 $\mathrm {Ker} (f,g)$ 称作核。它们的泛性质图解如下：