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正十六胞体堆砌

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正十六胞体堆砌
类型正四维堆砌
维度4
对偶多胞形正二十四胞体堆砌
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_1 3 node 3 node 4 node 3 node 
node_h 4 node 3 node 3 node 4 node 
node_h 4 node 3 node 3 node 4 node_h 
nodes_10ru split2 node 3 node 4 node 
nodes_10ru split2 node split1 nodes 
施莱夫利符号{3,3,4,3}
性质
四维{3,3,4}
{3,3}
{3}
欧拉示性数0
组成与布局
棱图立方体
顶点图
正二十四胞体
对称性
考克斯特群 = [3,3,4,3]
特性

在四维空间几何学中,正十六胞体堆砌是三种四维空间正堆砌体之一,由正十六胞体独立堆砌而成,每个条棱周围都环绕著3个正十六胞体,其顶点图正二十四胞体。正十六胞体堆砌的对偶多胞体是正二十四胞体,换句话说即正二十四胞体的顶点恰位于正十六胞体堆砌每个胞的几何中心,反之正十六胞体堆砌的顶点也位于正二十四胞体每个胞的几何中心

由于正十六胞体堆砌是一种完全密铺完四维空间的一种几何结构,就像是二维空间的平面三角形网格在四维空间的类比。正十六胞体堆砌的顶点排布英语vertex arrangement所形成的四维网格又称为, D4F4网格英语F4 (mathematics)#F4_lattice[1][2]

性质

正十六胞体堆砌是一种由正十六胞体完全密铺于四维空间的几何结构,每个三角形面周围都有3个正十六胞体,在施莱夫利符号中以 表示;每条棱周围都有6个正十六胞体,棱图立方体;每个顶点都是24个正十六胞体的公共顶点,顶点图为正二十四胞体。其对称性为考克斯特群群,在考克斯特表示法英语Coxeter_notation中可记为

顶点座标

正十六胞体堆砌是一个正堆砌体,与二维的三角形镶嵌类似,可视为{4,3,3,4}通过交错变换的结果,并且与四面体-八面体堆砌英语Tetrahedral-octahedral honeycomb相关。

正十六胞体堆砌可以被放置在整数座标 上,其中i、j,k,l的和必须是偶数

D4网格

正十六胞体堆砌的顶点排布英语vertex arrangement称为D4网格或F4网格[2]。以这些顶点为几何中心的三维超球可以构成四维空间中可能的正超球体填充中最紧密的一种排布[3],其牛顿数英语Kissing number为24。

nodes_10ru split2 node split1 nodes  = node_1 3 node 3 node 4 node 3 node 

另一种网格,D+
4
网格(又称为D2
4
网格)可以透过两个半超立方体网格联集构成,且与超立方体堆砌相关:

nodes_10ru split2 node split1 nodes nodes_01rd split2 node split1 nodes  = node_1 4 node 3 node split1 nodes  = node_1 4 node 3 node 3 node 4 node 

这种空间填充网格仅能存于偶数维度的空间。其牛顿数英语Kissing number二的三次方等于8[注 1][5]

The D*
4
网格(也称为D4
4
或C2
4
)可以透过所有四个D4网格的联集来构成,但其与D4网格相同,同时他也是2个超立方体堆砌放置在对方的对偶位置的联集,也就是四维空间中立方晶系结构[6]

nodes_10ru split2 node split1 nodes nodes_01rd split2 node split1 nodes nodes split2 node split1 nodes_10lu nodes split2 node split1 nodes_01ld  = nodes_10ru split2 node split1 nodes  = nodes_10r 4a4b nodes split2 node nodes_01r 4a4b nodes split2 node 

D*
4
网格的牛顿数英语Kissing number为24[7],其沃罗诺伊图为正二十四胞体堆砌(node_1 split1 nodes 4a4b nodes ),并包含所有的截半正十六胞体(即正二十四胞体)之沃罗诺伊胞,在考克斯特记号中计为node 4 node 3 node_1 3 node node_1 3 node 4 node 3 node [8]

不同对称性的结构

名称 考克斯特群 施莱夫利符号 考克斯特记号 顶点图
对称性
维面
正十六胞体堆砌 = [3,3,4,3] {3,3,4,3} node_1 3 node 3 node 4 node 3 node  node_1 3 node 4 node 3 node 
[3,4,3], 1152阶
24: 正十六胞体
四维堆砌 = [31,1,3,4]英语Template:B4 honeycombs = h{4,3,3,4} nodes_10ru split2 node 3 node 4 node  = node_h1 4 node 3 node 3 node 4 node  node 3 node_1 3 node 4 node 
[3,3,4], 384阶
16+8: 正十六胞体
= [31,1,1,1]英语Template:D4 honeycombs {3,31,1,1}
= h{4,3,31,1}
nodes_10ru split2 node split1 nodes  = node_h1 4 node 3 node split1 nodes  node 3 node_1 split1 nodes 
[31,1,1], 192阶
8+8+8: 正十六胞体

相关多胞体与堆砌

正十六胞体堆砌是四维空间三种正堆砌体之一,其他的四维空间正堆砌体有:

图像
超立方体堆砌

正十六胞体堆砌

正二十四胞体堆砌
施莱夫利符号 {4,3,3,4} {3,3,4,3} {3,4,3,3}
D5堆砌体
扩展对称性英语Coxeter notation#Extended_symmetry 扩展符号 扩展群 堆砌体
[31,1,3,31,1] nodes split2 node 3 node split1 nodes  nodes_10ru split2 node_1 3 node split1 nodes_10lu 
<[31,1,3,31,1]>
↔ [31,1,3,3,4]
nodeab_c1-2 split2 node_c3 3 node_c4 split1 nodeab_c5 
nodeab_c1-2 split2 node_c3 3 node_c4 3 node_c5 4 node 
×21 = nodes_10ru split2 node 3 node_1 split1 nodes_11 , nodes_10ru split2 node_1 3 node_1 split1 nodes_11 , nodes_10ru split2 node 3 node split1 nodes , nodes_10ru split2 node_1 3 node split1 nodes 

nodes_10ru split2 node 3 node_1 split1 nodes , nodes_10ru split2 node_1 3 node_1 split1 nodes , nodes_10ru split2 node 3 node split1 nodes_11 , nodes_10ru split2 node_1 3 node split1 nodes_11 

[[31,1,3,31,1]] nodeab_c1-2 split2 node_c3 3 node_c3 split1 nodeab_c1-2  ×22 nodes_10ru split2 node 3 node split1 nodes_10lu , nodes_10ru split2 node_1 3 node_1 split1 nodes_10lu 
<2[31,1,3,31,1]>
↔ [4,3,3,3,4]
nodeab_c1 split2 node_c3 3 node_c2 split1 nodeab_c4 
node 4 node_c1 3 node_c3 3 node_c2 3 node_c4 4 node 
×41 = nodes_11 split2 node 3 node split1 nodes , nodes split2 node_1 3 node split1 nodes , nodes_11 split2 node_1 3 node split1 nodes , nodes_11 split2 node 3 node_1 split1 nodes , nodes_11 split2 node_1 3 node_1 split1 nodes , nodes_11 split2 node_1 3 node split1 nodes_11 
[<2[31,1,3,31,1]>]
↔ [[4,3,3,3,4]]
nodeab_c1 split2 node_c2 3 node_c2 split1 nodeab_c1 
node 4 node_c1 3 node_c2 3 node_c2 3 node_c1 4 node 
×8 = ×2 nodes split2 node_1 3 node_1 split1 nodes , nodes_11 split2 node 3 node split1 nodes_11 , nodes_11 split2 node_1 3 node_1 split1 nodes_11 

参见

注释

  1. ^ 当n<8时为2n-1;n=8时为240;n>8时为2n(n-1)

参考文献

  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
    • pp. 154–156: Partial truncation or alternation, represented by h prefix: h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {31,1,4}, h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
  2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  3. George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
  4. Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org.  x3o3o4o3o - hext - O104
  1. ^ The Lattice F4. math.rwth-aachen.de. [2016-08-22]. (原始内容存档于2020-01-16). 
  2. ^ 2.0 2.1 The Lattice D4. math.rwth-aachen.de. [2016-08-22]. (原始内容存档于2020-02-21). 
  3. ^ O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651. 
  4. ^ Conway JH, Sloane NJH. Sphere Packings, Lattices and Groups 3rd. 1998. ISBN 0-387-98585-9. 
  5. ^ Conway(1998)[4], p. 119
  6. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, 7.4 The dual lattice D3*, p.120
  7. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 120
  8. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 466