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法里数列

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数学上,n阶的法里数列是0和1之间最简分数数列,由小至大排列,每个分数的分母不大于n。每个法里数列从0开始,至1结束,写作0111,但有些人不把这两项包括进去。有时法里数列也称为法里级数,严格来说这名字不正确,因为法里数列的项不会加起来。

例子

1至8阶的法里数列如下:

F1 = {01, 11}
F2 = {01, 12, 11}
F3 = {01, 13, 12, 23, 11}
F4 = {01, 14, 13, 12, 23, 34, 11}
F5 = {01, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 11}
F6 = {01, 16, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 56, 11}
F7 = {01, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 25, 37, 12, 47, 35, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 11}
F8 = {01, 18, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 38, 25, 37, 12, 47, 35, 58, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 78, 11}

历史

“法里数列”历史颇为稀奇。 — Hardy & Wright (1979) 第三章
……又一次,数学关系的名字取自一个人,但记录所载这人不是其发现者。 — Beiler (1964) 第十六章

法里数列是以英国地质学老约翰·法里得名,他关于这数列的信刊登在1816年的《哲学杂志》。法里猜测这数列的每一项都是相邻两项的中间分数;不过,以所知道的资料,他没有证明这个性质。法里的信给柯西读了,就给了一个证明在他的《数学习题》,把这结果归到法里上。其实,另一位数学家 C. Haros 曾在1802年发表了相类似的结果,几乎可以肯定法里和柯西都没看过。所以,法里的名字给了这个数列,是历史的一次意外。

性质

数列长度

n阶的法里数列包含了较低阶的法里数列的全部项,特别是它包含的全部项,和与n互质的每个数的相应分数。所以包含了和分数1656。对大于1的n,其法里数列的中间项必定是12

从上,的长度的关系,可以用欧拉函数描述:

这项资料,可以推导出的长度公式:

的渐近行为是:

数列邻项

法里数列的相邻分数项有下述性质:

abcd是法里数列的邻项,而有ab < cd,则它们之差cd − ab1bd。由于

上文就等于是说

bc − ad = 1。

例如1325中是邻项,它们之差为115

这结果的逆命题也成立。若

bc − ad = 1,

其中a,b,cd为正整数,及有a < bc < d,则abcd在阶为的法里数列中是邻项。

pq在某法里数列的邻项是abcd,及

ab < pq < cd

pqabcd中间分数。换句话说,

又若abcd在某法里数列是邻项,则当法里数列的阶增加,它们间出现的第一项是

而这项第一次出现在b+d阶的法里数列中。

例如在1325间出现的第一项是38,在出现。

Stern-Brocot树是一个资料结构,显出如何从0 (= 01)和1 (= 11)开始,以取中间分数来构成法里数列。

法里数列中的邻项分数,它们的连分数表示形式也密切相关。每个分数都有两个连分数表示,一个的尾项为1,另一个则大于1。考虑pq,它第一次于出现。以连分数表示为

,或

pq中最接近的邻项(这是两邻项中分母较大的)表示为连分数是

而另一邻项则会表示为

例如38有两个连分数表示:[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2],而它在中的邻项为25,可写成[0;2,1,1];和13,可写成[0;2,1]。

福特圆

法里数列和福特圆英语Ford circle之间有个有趣关连。

对每个最简分数pq,有福特圆C[pq],以为半径,以为圆心。两个不同分数的福特圆一是分开,一是相切,但不会相交。若0 < pq < 1,则与相切的福特圆正好是在某一法里数列中与pq为邻项的分数。

例如C[25]与C[12],C[13],C[37],C[38]等相切。

F1--F8的福特圆图像如下:

外部链接