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闭形式和恰当形式

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数学,特别是向量分析微分拓扑中,一个闭形式 微分算子 ,即 微分形式;而恰当形式(恰当微分形式) 是微分算子 ,即存在某个微分形式 使得 称为关于 的一个“本原”。

因为 ,所以恰当形式一定是闭形式,但闭形式是否为恰当形式并不显然。考虑一个闭形式是不是恰当的,可由不同的条件检测拓扑信息来得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义,因为 将阶数提高 1,不过可以规定恰当 0-形式就是零函数

当两个闭形式的差是一个恰当形式时,称它们为相互上同调的。这便是说,如果 是闭形式,且存在某个 使得

则我们说 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素;对这样的类作一般性研究称为上同调理论

上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上,0-形式就是函数,2-形式是函数乘以基本面积元 ,故只有 1-形式

具有真正的意义,其外导数

这里下标表示偏导数。从而 “闭”的条件是

是一个函数时则

“恰当形式是闭形式”便是关于 xy 二阶导数的对称性的一个推论,这可以直接推广到高维情形。

上,恰当 1-形式相当于有势场(保守场),闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理

庞加莱引理断言:如果 可缩开子集,对任何整数 ,任何定义在 上的光滑闭 -形式 是恰当的(这只在 有内容)。

可缩意味着存在同伦映射 形变为一点。从而任何 中的闭链 都是某个“锥”的边缘;我们可以取锥为 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地,我们将 与柱 联系起来,分别通过映射 与顶端和底面等价。在微分形式上,诱导拉回映射 上链同伦联系:

表示 上的 -形式,映射是柱映射的对偶,定义为:

这里 是一个不含 的单项 -形式。所以如果到一点的同伦形变,那么

在形式上:

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的,大范围的结果就是德拉姆定理

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如,在参数化圆周上,闭 1-形式不是恰当的(注意不能定义为整个 上的函数,但是一个良定的闭形式)。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0,但在圆周上积分是

参考文献

  • Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
  • 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7