在数学里,集合建构式符号(set-builder notation)是常用于描述集合的一种记号,这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化(set abstraction)或set comprehension。一般写为或,分别只在于论域的不同,前者的元素恰好是那些符合谓词P的集合,而后者的元素除了符合谓词P,还得是S的元素。
以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则,它是正整数的和。
下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素:
- 其中,n是正整数,S是左式的结果。
于是我们归纳出一个规则(即公式):
这个规则可代表集合T中的元素。于是,集合T可以简写为:
在上面的简单范例中,我们将一个繁复的集合表示法,透过一个简单的规则,重新以简单的符号来表示这个集合。
当一个集合的元素是用某种公式或条件(亦即,一个函数)所产生,这时候就可以用集合建构式来表示,例如:
- 偶数集合 = 是2的倍数
- 负数集合 = 是小于0的数
就哲学上来说,这些元素具有某种共同的性质(2的倍数,或是小于0);在一阶逻辑中,这个性质可以使用谓词来表示,而该集合的一般格式为:
以偶数集合为例,其谓词“是2的倍数”。“是2的倍数”,被称为一个命题函数。
集合的元素必定是另一个集合的元素,使得为真(亦即,是的一个子集),一般表述为:
- 或是
在这里,是谓词,是主词(集合中的一个元素),是一个传回真假值的命题函数:
所以,在数学中,谓词被视为一种布林值函数。
在实例中,如果没有指定集合,就表示集合是由谓词所给出。
集合建构式例句
- 正整数集合可用下列建构式表示:
- 是大于0的整数
- 偶数集合可用下列建构式表示:
- 是2的倍数
- 负数集合可用下列建构式表示:
- 是小于0的数
- 平方数集合可用下列建构式表示:
- 是某个整数的平方
- s.t.
在这里,有几个习惯用法:
- 冒号和竖线是一样的,意思是“使得(such that,简写为s.t.)”。一般来说,冒号与竖线只使用在最前面,接下来的“使得”都使用别的符号,例如s.t.或是。但是偶尔也会看到这样的句子,奇数:
- 另一个更简洁的句子可以表达相同的意思:
- 一般来说,是省略不写的,但是偶尔会看到使用的句子。一个复杂的例句如下,非平方数:
参见
外部链接