电荷密度

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在电磁学里，电荷密度是一种度量，用以描述空间中连续电荷的分布状况。依据讨论电磁模型的维度而定，电荷密度可以是线电荷密度、面电荷密度或体电荷密度。

假设电荷分布于一条曲线或一根直棒子，则其线电荷密度是每单位长度的电荷密度，单位为库仑／公尺 (coulomb/meter) 。假设电荷分布于一个平面或一个物体的表面，则其面电荷密度是每单位面积的电荷密度，单位为库仑／公尺²。假设电荷分布于一个三维空间的某区域或物体内部，则其体电荷密度是每单位体积的电荷密度，单位为库仑／公尺³。

由于在大自然里，有两种电荷，正电荷和负电荷，所以，电荷密度可能会是负值。电荷密度也可能会跟位置有关。特别注意，不要将电荷密度与电荷载子密度 (charge carrier density) 搞混了。

电荷密度与电荷载子的体积有关。例如，由于锂阳离子的半径比较小，它的体电荷密度大于钠阳离子的体电荷密度。

古典电荷密度

假设，一个体积为 $V$ 的载电体，其电荷密度 $\rho _{0}$ 是均匀的，跟位置无关，那么，总电荷量 $Q$ 为

$Q=\rho _{0}V$。

假设，在某一区域内有 $N$ 个离散的点电荷，像电子。那么，电荷密度可以用狄拉克δ函数来表达为

$\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$ ；

其中， $\mathbf {r}$ 是检验位置，$q_{i}$ 是位置为 $\mathbf {r} _{i}$ 的第 $i$ 个点电荷的电量。

量子电荷密度

氢原子的电子机率密度绘图。横排显示不同的角量子数 (l) ,竖排显示不同的能级 (n) 。这也是氢原子的负电荷密度图。氢原子的质子的中心有一个正电性的质子。

在量子力学里，类氢原子的中心有一个正电性的原子核，环绕著原子核四周的一个电子的轨域，其电荷密度可以用波函数 $\psi (\mathbf {r} )$ 表达为

$\rho (\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}$ ；

其中，$q$ 是电子的电荷量。

注意到 $|\psi (\mathbf {r} )|^{2}$ 是找到电子的机率。经过归一化，在全部空间找到电子的机率是

$\int _{all\ space}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}=1$ ；

例如，氢原子的波函数 $\psi _{nlm}(\mathbf {r} )$ 是

$\psi _{nlm}(\mathbf {r} )=R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )$ ；

其中，$R_{nl}$ 是径向函数，$Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )$ 是球谐函数，$n$ 是主量子数，$l$ 是角量子数，$m$ 是磁量子数。

相对论性电荷密度

从相对论的角度来论述，导线的长度与观察者的移动速度有关，所以电荷密度是一种相对论性观念。安东尼·法兰碁（Anthony French）在他的著作中表明，移动中的电荷密度会产生磁场力，会吸引或排斥其它载流导线。。使用闵可夫斯基图，法兰碁阐明，一条中性的载流导线，对于处于移动参考系的观察者而言，为什么会貌似载有净电荷密度。通过时空坐标，研究电磁现象的领域称为相对论性电磁学（relativistic electromagnetism）。

电荷守恒的连续方程式

电荷密度与电流密度之间的关系式为：

${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)=0$ ；

其中，$\mathbf {r}$ 是位置，$t$ 是时间，$\mathbf {J}$ 是电流密度。

在电磁理论里，从马克士威方程组，可以推导出电荷守恒的连续方程式。根据加入位移电流项目后的安培定律，

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ ；

其中，$\mathbf {B}$ 是磁场，$\mathbf {E}$ 是电场，$\mu _{0}$ 是磁常数，$\epsilon _{0}$ 是电常数。

取散度于方程式的两边：

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )$ 。

由于旋度的散度等于零，再根据高斯定律，可以得到想要的关系式

$0=\nabla \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ 。

换另外一种比较直觉的推导方法。流入某体积 $\mathbb {V}$ 的净电流为

$I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r}$ ；

其中，$I$ 是电流，$\mathbb {S}$ 是包围体积 $\mathbb {V}$ 的闭曲面，$\mathrm {d} \mathbf {r} ^{2}$ 是微小面向量元素，垂直于 $\mathbb {S}$ 从体积内朝外指出。

应用散度定理，将这方程式写为

$I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

总电荷量 $Q$ 与体积 $\mathbb {V}$ 内的电荷密度 $\rho$ 的关系为

$Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

电荷守恒要求，流入体积 $\mathbb {V}$ 的净电流，等于体积 $\mathbb {V}$ 内总电荷量 $Q$ 的变率：

${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

所以，

$\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r=0$ 。

对于任意体积 $\mathbb {V}$ ，上述方程式都成立。所以，可以将被积式提取出来：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$ 。

电势和电场

在一个体积区域 $\mathbb {V} '$ 内，源位置 $\mathbf {r} '$ 的电荷密度为 $\rho (\mathbf {r} ')$ 的电荷分布，所产生在场位置 $\mathbf {r} \!$ 的电势为

$\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}{r}'$ ；

其中，$\mathrm {d} ^{3}{r}'$ 是微小体积元素。

电场 $\mathbf {E}$ 是电势的负梯度：

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'$ 。

应用向量关系式

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$ ，

取散度于电场，

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}{r}'$ ，

可以得到高斯定律的微分形式

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}$ ，

和帕松方程式

$\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}$ 。

参阅

• 拉普拉斯方程式
• 恩绍定理
• 格林互反定理 (Green's reciprocity theorem)