K3曲面

在数学领域的代数几何及复流形理论中，K3曲面是一类重要的紧复曲面，在此“曲面”系指复二维，视作实流形则为四维。

K3曲面与二维复环面构成二维的卡拉比-丘流形。复几何所探讨的K3曲面通常不是代数曲面；然而这类曲面首先出现于代数几何，并以恩斯特·库默尔、埃里希·卡莱尔与小平邦彦三位姓氏缩写为 K 的代数几何学家命名，也与1950年代被命名的K2峰相映成趣。

定义

在不同的脉络下，K3曲面的定义略有不同。

• 在复几何中，K3曲面是具有平凡典范丛的紧致、单连通复曲面。
• 在代数几何中，K3曲面是具有平凡典范丛，且 $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ 的射影曲面。此定义可推广至任意域上的代数曲面。
• 另有一个物理文献中常见的刻划：K3曲面是不同构于 $T^{4}$ 的复二维卡拉比-丘流形。

重要性质

1. 若将K3曲面视为四维实流形，则它们彼此微分同胚。其贝蒂数为：1、0、22、0、1。
2. 所有K3曲面都是卡莱尔流形。
3. 根据丘成桐证出的卡拉比猜想，所有K3曲面都配有里奇平坦度量。
4. 现已知对复K3曲面存在一个20维的粗模空间。对复K3曲面，存在周期映射，而且相应的托雷利定理成立。K3曲面也另有其它数种具备良好周期映射的模空间。
5. K3曲面在弦理论中扮演重要角色，因为它提供了除环面之外最简单的紧致化。K3曲面上的紧化保存一半的超对称。

例子

• 库默尔曲面源自一个二维阿贝尔簇 $A$ 对 $a\mapsto -a$ 的商空间，此商在二阶挠点上产生 $2^{4}=16$ 个奇点。该空间的极小分解是个K3曲面。
• $\mathbb {P} ^{3}$ 里的四次平滑曲面。
• $\mathbb {P} ^{4}$ 里二次曲面与三次曲面之交。
• $\mathbb {P} ^{5}$ 里三个二次曲面之交。
• $\mathbb {P} ^{2}$ 沿一条平滑六次曲线的分歧覆盖。

参见

• 代数曲面

参考文献

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, 2004, ISBN 3-540-00832-2 
• A.N. Rudakov, K3 surface, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部链接

• K3 Surfaces and String Duality, by Paul Aspinwall （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Geometry of K3 surfaces, by David Morrison